Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes dadas:
- A expressão dentro do log é
. - A base do logaritmo é
, que satisfaz e .
O objetivo é encontrar todos os valores deque tornam a igualdade verdadeira, lembrando que para o logaritmo estar definido é preciso que .
Passo 2
Lembrete importante (propriedade de logaritmos) — por que reduzimos o problema:
Para qualquer base com
e
vale
Para qualquer base
porque
. Assim, sempre que um logaritmo for igual a zero podemos substituir a expressão dentro do log por
. Além disso precisamos garantir que o argumento seja positivo, mas
já garante isso quando aparece como solução.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso, igualamos o argumento a
:
Subtraindo
dos dois lados obtemos a equação quadrática
Passo 4
Vamos resolver a quadrática
por fatoração (vou mostrar passo a passo):
- Multiplicamos o coeficiente do termo
pelo termo constante: . - Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja o coeficiente do termo , que é . Esses números são e . - Reescrevemos o termo
como :
- Fatoramos por agrupamento:
Portanto
Igualando a zero:
logo as raízes são
Passo 5
Verificação e condição de existência do logaritmo:
Para que as soluções sejam válidas precisamos que . Como partimos justamente de
ao resolver, os candidatos satisfazem a condição (porque
). Vamos calcular explicitamente para checar:
Para que as soluções sejam válidas precisamos que
- Para
:
- Para
:
Em ambos os casos o argumento do log é
, e
é verdadeiro. Logo ambas as raízes são soluções válidas.