Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
\log _{\sqrt{2}}\left(3 x^{2}+7 x+3\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{\sqrt{2}}\!\left(3x^{2}+7x+3\right)=0.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão dentro do log é 3x^{2}+7x+3.
  • A base do logaritmo é \sqrt{2}, que satisfaz \sqrt{2}>0 e \sqrt{2}\neq1.
    O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira, lembrando que para o logaritmo estar definido é preciso que 3x^{2}+7x+3>0.

Passo 2

Lembrete importante (propriedade de logaritmos) — por que reduzimos o problema:
Para qualquer base b com b>0 e b\neq1 vale
\log_{b}(y)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y=1,
porque b^{0}=1. Assim, sempre que um logaritmo for igual a zero podemos substituir a expressão dentro do log por 1. Além disso precisamos garantir que o argumento seja positivo, mas 1>0 já garante isso quando aparece como solução.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso, igualamos o argumento a 1:
3x^{2}+7x+3=1.
Subtraindo 1 dos dois lados obtemos a equação quadrática
3x^{2}+7x+2=0.

Passo 4

Vamos resolver a quadrática 3x^{2}+7x+2=0 por fatoração (vou mostrar passo a passo):
  1. Multiplicamos o coeficiente do termo x^{2} pelo termo constante: 3\cdot2=6.
  2. Procuramos dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja o coeficiente do termo x, que é 7. Esses números são 6 e 1.
  3. Reescrevemos o termo 7x como 6x+x:
3x^{2}+6x+x+2.
  1. Fatoramos por agrupamento:
3x( x+2 ) +1( x+2 ) = (3x+1)(x+2).
Portanto
3x^{2}+7x+2=(3x+1)(x+2).
Igualando a zero:
(3x+1)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad 3x+1=0 \\ \text{ou}\\ x+2=0,
logo as raízes são
x=-\dfrac{1}{3}\quad\text{e}\quad x=-2.

Passo 5

Verificação e condição de existência do logaritmo:
Para que as soluções sejam válidas precisamos que 3x^{2}+7x+3>0. Como partimos justamente de 3x^{2}+7x+3=1 ao resolver, os candidatos satisfazem a condição (porque 1>0). Vamos calcular explicitamente para checar:
  • Para x=-\dfrac{1}{3}:
3\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+7\left(-\dfrac{1}{3}\right)+3 =3\cdot\dfrac{1}{9}-\dfrac{7}{3}+3 =\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{3}+3 =-2+3=1.
  • Para x=-2:
3(-2)^{2}+7(-2)+3=3\cdot4-14+3=12-14+3=1.
Em ambos os casos o argumento do log é 1, e \log_{\sqrt{2}}(1)=0 é verdadeiro. Logo ambas as raízes são soluções válidas.

Resposta

x=-\dfrac{1}{3}
x=-2

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