Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
\log _{x-1}\left(x^{3}-7 x^{2}+8 x+11\right)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{x-1}\!\left(x^{3}-7x^{2}+8x+11\right)=3,
isto é, encontrar todos os x reais que tornam essa igualdade verdadeira.
Informações/condições relevantes que o enunciado implica (domínio):
  • A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, logo \;x-1>0\; e \;x-1\neq1. Em símbolos: \;x>1\; e \;x\neq2.
  • O argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo, ou seja \;x^{3}-7x^{2}+8x+11>0.
Vou respeitar essas condições quando encontrar as soluções.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): para números válidos de base e argumento, a igualdade
\log_a b = c
é equivalente a
a^{c}=b,
desde que a>0, a\neq1 e b>0. Aqui a é a base do logaritmo, b é o argumento, e c é o valor do logaritmo.
Aplicando isso à nossa equação, com a=x-1, b=x^{3}-7x^{2}+8x+11 e c=3, obtemos a equação exponencial equivalente:
(x-1)^{3}=x^{3}-7x^{2}+8x+11.

Passo 3

Vamos desenvolver o lado esquerdo (x-1)^{3}. A fórmula do cubo de uma diferença é
(x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1.
Substituindo na equação obtida no passo anterior:
x^{3}-3x^{2}+3x-1 = x^{3}-7x^{2}+8x+11.

Passo 4

Agora simplificamos: como ambos os lados têm x^{3}, podemos subtrair x^{3} de ambos os lados, ficando com uma equação quadrática:
-3x^{2}+3x-1 = -7x^{2}+8x+11.
Colocando tudo em um lado:
(-3x^{2}+3x-1) - (-7x^{2}+8x+11)=0
que simplifica para
4x^{2}-5x-12=0.

Passo 5

Resolvemos a quadrática \;4x^{2}-5x-12=0\;. Usamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=4, b=-5, c=-12. Calculando o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4\cdot4\cdot(-12)=25+192=217.
Portanto as raízes são
x=\frac{5\pm\sqrt{217}}{8}.

Passo 6

Agora aplicamos as condições de domínio listadas no Passo 1 para ver quais dessas raízes são válidas.
As duas raízes são
x_1=\frac{5+\sqrt{217}}{8},\qquad x_2=\frac{5-\sqrt{217}}{8}.
Numéricas aproximadas: \;x_1\approx2{,}466\; e \;x_2\approx-1{,}216.
  • Verificação de x_2: como x_2<1, temos x_2-1<0, ou seja a base do logaritmo seria negativa — isso não é permitido. Logo x_2 é descartado.
  • Verificação de x_1: como x_1>1 e x_1\neq2, a base x_1-1 é positiva e distinta de 1. Além disso, pela equação exponencial (x_1-1)^3 = x_1^{3}-7x_1^{2}+8x_1+11, e como x_1-1>0 então (x_1-1)^3>0, logo o argumento do logaritmo é positivo. Portanto x_1 satisfaz todas as condições de domínio e é solução válida.
Assim existe uma única solução real válida:
x=\frac{5+\sqrt{217}}{8}.

Resposta

x=\dfrac{5+\sqrt{217}}{8}

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