Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
isto é, encontrar todos os
reais que tornam essa igualdade verdadeira.
Informações/condições relevantes que o enunciado implica (domínio):
- A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, logo
e . Em símbolos: e . - O argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo, ou seja
.
Vou respeitar essas condições quando encontrar as soluções.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): para números válidos de base e argumento, a igualdade
é equivalente a
desde que
,
e
. Aqui
é a base do logaritmo,
é o argumento, e
é o valor do logaritmo.
Aplicando isso à nossa equação, com
,
e
, obtemos a equação exponencial equivalente:
Passo 3
Vamos desenvolver o lado esquerdo
. A fórmula do cubo de uma diferença é
Substituindo na equação obtida no passo anterior:
Passo 4
Agora simplificamos: como ambos os lados têm
, podemos subtrair
de ambos os lados, ficando com uma equação quadrática:
Colocando tudo em um lado:
que simplifica para
Passo 5
Resolvemos a quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde
,
,
. Calculando o discriminante:
Portanto as raízes são
Passo 6
Agora aplicamos as condições de domínio listadas no Passo 1 para ver quais dessas raízes são válidas.
As duas raízes são
Numéricas aproximadas:
e
.
-
Verificação de
: como , temos , ou seja a base do logaritmo seria negativa — isso não é permitido. Logo é descartado. -
Verificação de
: como e , a base é positiva e distinta de 1. Além disso, pela equação exponencial , e como então , logo o argumento do logaritmo é positivo. Portanto satisfaz todas as condições de domínio e é solução válida.
Assim existe uma única solução real válida: