Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
\log _{\frac{1}{4}}\left\{\log _{3}\left[\log _{2}(3 x-1)\right]\right\}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{\frac{1}{4}}\!\biggl(\log_{3}\!\bigl[\log_{2}(3x-1)\bigr]\biggr)=0.
Informações e condições fornecidas (importantíssimas para o domínio):
  • A expressão envolve três logaritmos aninhados com bases \tfrac{1}{4}, 3 e 2.
  • Para que cada logaritmo esteja definido, os argumentos devem ser positivos. Isso gera restrições sobre x que vamos analisar depois.
    A meta é encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação e que respeitam o domínio.

Passo 2

Lembrando uma propriedade básica e muito útil de logaritmos: se \log_{b}(A)=0 com b>0 e b\neq1, então necessariamente
A=1.
Explicação rápida e intuitiva: \log_b(A)=0 significa que b^0=A, e como b^0=1 para qualquer base válida, obtemos A=1. Note que isso vale mesmo quando a base está entre 0 e 1 (por exemplo b=\tfrac{1}{4}); a equação \log_b(A)=0 continua a ter solução A=1.

Passo 3

Aplicando a propriedade do passo anterior à equação dada, com b=\tfrac{1}{4} e A=\log_{3}\!\bigl[\log_{2}(3x-1)\bigr], obtemos
\log_{3}\!\bigl[\log_{2}(3x-1)\bigr]=1.

Passo 4

Agora usamos a mesma ideia para o logaritmo de base 3: se \log_{3}(B)=1, então
B=3^{1}=3,
pois \log_{3}(B)=1 significa 3^{1}=B. Aplicando com B=\log_{2}(3x-1), vem
\log_{2}(3x-1)=3.

Passo 5

Transformamos o último logaritmo em potência: \log_{2}(3x-1)=3 equivale a
3x-1=2^{3}=8,
já que \log_2\text{(C)}=3 significa 2^3=C.

Passo 6

Resolver a equação linear obtida:
3x-1=8 \quad\Rightarrow\quad 3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3.

Passo 7

Verificação do domínio (muito importante): devemos garantir que todos os argumentos dos logaritmos sejam positivos na expressão original.
  • Para \log_{2}(3x-1) estar definido: 3x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac{1}{3}.
  • Para \log_{3}\!\bigl[\log_{2}(3x-1)\bigr] estar definido: \log_{2}(3x-1)>0. Isso equivale a 3x-1>1\Rightarrow x>\tfrac{2}{3}.
  • Para \log_{\frac{1}{4}}\!\bigl(\log_{3}[\log_{2}(3x-1)]\bigr) estar definido: \log_{3}[\log_{2}(3x-1)]>0. Como base 3>1, isso dá \log_{2}(3x-1)>1\Rightarrow 3x-1>2\Rightarrow x>1.
A restrição mais forte é x>1. O candidato x=3 satisfaz x>1, portanto é admissível. Fazendo a verificação direta:
\log_{2}(3\cdot3-1)=\log_{2}(8)=3,
\log_{3}(3)=1,
\log_{\frac{1}{4}}(1)=0.
Tudo confere.

Resposta

3

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