Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações e condições fornecidas (importantíssimas para o domínio):
- A expressão envolve três logaritmos aninhados com bases
, e . - Para que cada logaritmo esteja definido, os argumentos devem ser positivos. Isso gera restrições sobre
que vamos analisar depois.
A meta é encontrar todos os valores deque satisfazem a equação e que respeitam o domínio.
Passo 2
Lembrando uma propriedade básica e muito útil de logaritmos: se
com
e
, então necessariamente
Explicação rápida e intuitiva:
significa que
, e como
para qualquer base válida, obtemos
. Note que isso vale mesmo quando a base está entre
e
(por exemplo
); a equação
continua a ter solução
.
Passo 3
Aplicando a propriedade do passo anterior à equação dada, com
e
, obtemos
Passo 4
Agora usamos a mesma ideia para o logaritmo de base
: se
, então
pois
significa
. Aplicando com
, vem
Passo 5
Transformamos o último logaritmo em potência:
equivale a
já que
significa
.
Passo 6
Resolver a equação linear obtida:
Passo 7
Verificação do domínio (muito importante): devemos garantir que todos os argumentos dos logaritmos sejam positivos na expressão original.
- Para
estar definido: . - Para
estar definido: . Isso equivale a . - Para
estar definido: . Como base , isso dá .
A restrição mais forte é
. O candidato
satisfaz
, portanto é admissível. Fazendo a verificação direta:
Tudo confere.