Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
. - A expressão envolve logaritmos com base
. - Para que a equação faça sentido (os logaritmos existam) é preciso que a base e os argumentos satisfaçam restrições que teremos de checar.
Passo 2
Antes de manipular a igualdade de logaritmos, precisamos determinar o domínio — ou seja, para quais
os logaritmos estão definidos.
Regras para um logaritmo
estar definido:
- a base
deve satisfazer e ; - o argumento
deve satisfazer .
Aplicando isso ao problema:
- Condição sobre a base
:
Além disso,
- Condição sobre o primeiro argumento
.
Vamos achar as raízes da quadrática para fazer o estudo de sinais.
Discriminante:
Raízes:
Portanto as raízes são
Como o coeficiente de
é
, a quadrática é positiva para
e para
. Em notação de intervalo:
- Condição sobre o segundo argumento
.
Fatorando:
As raízes são
e
. Como o coeficiente de
é
, o produto é positivo para
e para
. Em intervalos:
Agora fazemos a interseção de todas as condições (base válida e ambos os argumentos positivos), lembrando também de excluir
:
- Base:
com gives . - Primeiro argumento positivo:
. - Segundo argumento positivo:
.
Intersecção (e considerando
) resulta em
Ou seja,
Passo 3
Agora usamos a propriedade fundamental dos logaritmos com mesma base: se
satisfaz
e
, e
,
, então
Aqui a base é
e já impusemos as condições para que ela e os argumentos sejam válidos. Portanto podemos igualar os argumentos:
Passando tudo para um lado:
Resolvendo a quadrática
. Podemos fatorar:
Logo as soluções algébricas são
Passo 4
Precisamos verificar se essas soluções pertencem ao domínio que achamos no Passo 2.
- Para
: - Base:
e — OK. - Argumentos:
- Base:
Portanto
está no domínio e é solução válida.
- Para
: - Base:
e — OK. - Argumentos:
- Base:
Portanto
também está no domínio e é solução válida.
Não há outras soluções (só as raízes da quadrática que encontramos), e ambas satisfazem as condições.