Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
\log _{x+5}\left(3 x^{2}-5 x-8\right)=\log _{x+5}\left(2 x^{2}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{x+5}\!\left(3x^{2}-5x-8\right)=\log_{x+5}\!\left(2x^{2}-3x\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • A expressão envolve logaritmos com base x+5.
  • Para que a equação faça sentido (os logaritmos existam) é preciso que a base e os argumentos satisfaçam restrições que teremos de checar.

Passo 2

Antes de manipular a igualdade de logaritmos, precisamos determinar o domínio — ou seja, para quais x os logaritmos estão definidos.
Regras para um logaritmo \log_{b}(A) estar definido:
  • a base b deve satisfazer b>0 e b\neq1;
  • o argumento A deve satisfazer A>0.
Aplicando isso ao problema:
  1. Condição sobre a base b=x+5:
x+5>0 \quad\Rightarrow\quad x>-5.
Além disso,
x+5\neq1 \quad\Rightarrow\quad x\neq-4.
  1. Condição sobre o primeiro argumento 3x^{2}-5x-8>0.
    Vamos achar as raízes da quadrática para fazer o estudo de sinais.
    Discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot3\cdot(-8)=25+96=121.
Raízes:
x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{2\cdot3}=\frac{5\pm11}{6}.
Portanto as raízes são
x=-1\quad\text{e}\quad x=\tfrac{8}{3}.
Como o coeficiente de x^{2} é 3>0, a quadrática é positiva para x<-1 e para x>\tfrac{8}{3}. Em notação de intervalo:
3x^{2}-5x-8>0 \quad\text{para}\quad x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac{8}{3},\infty\right).
  1. Condição sobre o segundo argumento 2x^{2}-3x>0.
    Fatorando:
2x^{2}-3x = x(2x-3).
As raízes são x=0 e x=\tfrac{3}{2}. Como o coeficiente de x^{2} é 2>0, o produto é positivo para x<0 e para x>\tfrac{3}{2}. Em intervalos:
2x^{2}-3x>0 \quad\text{para}\quad x\in(-\infty,0)\cup\left(\tfrac{3}{2},\infty\right).
Agora fazemos a interseção de todas as condições (base válida e ambos os argumentos positivos), lembrando também de excluir x=-4:
  • Base: x>-5 com x\neq-4 gives (-5,\infty)\setminus\{-4\}.
  • Primeiro argumento positivo: (-\infty,-1)\cup(\tfrac{8}{3},\infty).
  • Segundo argumento positivo: (-\infty,0)\cup(\tfrac{3}{2},\infty).
Intersecção (e considerando x>-5) resulta em
\text{Domínio: }x\in(-5,-1)\setminus\{-4\}\quad\text{ou}\quad x\in\left(\tfrac{8}{3},\infty\right).í
Ou seja,
x\in(-5,-1)\\ \text{com}\\ x\neq-4,\quad\text{ou}\quad x>\tfrac{8}{3}.

Passo 3

Agora usamos a propriedade fundamental dos logaritmos com mesma base: se b satisfaz b>0 e b\neq1, e A>0, B>0, então
\log_{b}A=\log_{b}B \quad\Longrightarrow\quad A=B.
Aqui a base é x+5 e já impusemos as condições para que ela e os argumentos sejam válidos. Portanto podemos igualar os argumentos:
3x^{2}-5x-8 = 2x^{2}-3x.
Passando tudo para um lado:
3x^{2}-5x-8-(2x^{2}-3x)=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-2x-8=0.
Resolvendo a quadrática x^{2}-2x-8=0. Podemos fatorar:
x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2).
Logo as soluções algébricas são
x=4 \quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 4

Precisamos verificar se essas soluções pertencem ao domínio que achamos no Passo 2.
  • Para x=4:
    • Base: x+5=9>0 e 9\neq1 — OK.
    • Argumentos: 3x^{2}-5x-8 = 3\cdot16 -5\cdot4 -8 =48-20-8=20>0,
2x^{2}-3x = 2\cdot16 -3\cdot4 =32-12=20>0.
Portanto x=4 está no domínio e é solução válida.
  • Para x=-2:
    • Base: x+5=3>0 e 3\neq1 — OK.
    • Argumentos: 3x^{2}-5x-8 = 3\cdot4 -5\cdot(-2) -8 =12+10-8=14>0,
2x^{2}-3x = 2\cdot4 -3\cdot(-2) =8+6=14>0.
Portanto x=-2 também está no domínio e é solução válida.
Não há outras soluções (só as raízes da quadrática que encontramos), e ambas satisfazem as condições.

Resposta

x=-2
x=4

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