Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio máximo da função.
- Esboçar o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- A função é um logaritmo na base
. - O argumento do logaritmo é
.
Passo 2
Condição para existir o logaritmo (domínio): explicar a regra básica.
- Uma função do tipo
só está definida quando o argumento é positivo: . - Além disso, a base
deve satisfazer e . Aqui a base é , que satisfaz essas condições.
Aplicando isso ao nosso caso:
- O argumento é
. Logo a condição é
- Resolvendo essa desigualdade:
Portanto o domínio máximo é o conjunto de todos os
tais que
, ou seja
.
Passo 3
Compreendendo a monotonicidade (como a função cresce ou decresce).
- Regra: se a base
, então é uma função crescente em (maior → maior \log). Se seria decrescente. - Aqui
, então é crescente no argumento . Como também cresce com , a função é crescente em seu domínio.
Cálculo do derivado (opcional, mas útil para prova):
- Regra de derivação:
. - Para
temos . Logo
- Como
e no domínio, temos . Confirma que é crescente.
Passo 4
Comportamento nas extremidades e assíntota vertical.
- Quando
(aproximação pela direita), o argumento . E de um número que tende a tende a . Portanto
Isto significa que há uma assíntota vertical em
.
- Quando
, temos e . Então quando .
Passo 5
Pontos úteis para desenhar sem calculadora.
- Encontre pontos com argumentos simples (potências de
e suas frações): -
. Logo o gráfico passa por . -
. Ponto . -
. Ponto . -
. Ponto .
Esses pontos mostram rapidamente como o gráfico sobe devagar para a direita e desce paraperto de .
-
Passo 6
Concavidade e forma fina do gráfico.
- Segunda derivada para ver concavidade:
- Como
para todo , a curva é côncava para baixo em todo o domínio. - Resumo da forma: curva crescente, lentamente crescente para grandes
, muito negativa perto de , e côncava para baixo.
Passo 7
Interpretação geométrica como transformação de
.
- A função
é exatamente o gráfico de deslocado uma unidade para a direita. - Portanto, para desenhar: desenhe o gráfico padrão de
e desloque tudo 1 unidade à direita. A assíntota vertical de vira aqui; o zero que era em vira em , etc.
Passo 8
Como esboçar passo a passo (o que desenhar no papel da prova).
- Desenhe os eixos
e . - Marque a assíntota vertical
(linha tracejada). - Plote os pontos:
, , , . - Una os pontos por uma curva suave que:
- Vai para
ao se aproximar de , - Passe por
, - Cresça lentamente para
quando , - Seja côncava para baixo.
- Vai para
- Rotule a assíntota
e alguns pontos marcantes.
Dica amiga: se ficar nervoso, desenhe primeiro os pontos e a assíntota; a curva “encaixa” naturalmente entre eles.
Resposta
Domínio máximo:
Esboço do gráfico: curva logarítmica crescente com assíntota vertical em , passando por
,
,
, côncava para baixo e tendendo a
quando
e a
quando
.
Esboço do gráfico: curva logarítmica crescente com assíntota vertical em