Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\log _{2}(x-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\log_{2}(x-1) e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio máximo da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A função é um logaritmo na base 2.
  • O argumento do logaritmo é x-1.

Passo 2

Condição para existir o logaritmo (domínio): explicar a regra básica.
  • Uma função do tipo \log_{a}(u) só está definida quando o argumento u é positivo: u>0.
  • Além disso, a base a deve satisfazer a>0 e a\neq1. Aqui a base é 2, que satisfaz essas condições.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • O argumento é u=x-1. Logo a condição é
x-1>0.
  • Resolvendo essa desigualdade:
x>1.
Portanto o domínio máximo é o conjunto de todos os x tais que x>1, ou seja (1,\infty).

Passo 3

Compreendendo a monotonicidade (como a função cresce ou decresce).
  • Regra: se a base a>1, então \log_a(u) é uma função crescente em u (maior u → maior \log). Se 0<a<1 seria decrescente.
  • Aqui a=2>1, então \log_2 é crescente no argumento u. Como u=x-1 também cresce com x, a função f(x)=\log_2(x-1) é crescente em seu domínio.
Cálculo do derivado (opcional, mas útil para prova):
  • Regra de derivação: \dfrac{d}{dx}\log_{2}(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)\ln 2}.
  • Para u(x)=x-1 temos u'(x)=1. Logo
f'(x)=\frac{1}{(x-1)\ln 2}.
  • Como \ln 2>0 e x-1>0 no domínio, temos f'(x)>0. Confirma que f é crescente.

Passo 4

Comportamento nas extremidades e assíntota vertical.
  • Quando x\to1^+ (aproximação pela direita), o argumento x-1\to0^+. E \log_2 de um número que tende a 0^+ tende a -\infty. Portanto
\lim_{x\to1^+} \log_{2}(x-1) = -\infty.
Isto significa que há uma assíntota vertical em x=1.
  • Quando x\to\infty, temos x-1\to\infty e \log_2(x-1)\to\infty. Então f(x)\to\infty quando x\to\infty.

Passo 5

Pontos úteis para desenhar sem calculadora.
  • Encontre pontos com argumentos simples (potências de 2 e suas frações):
    • f(2)=\log_{2}(2-1)=\log_{2}(1)=0. Logo o gráfico passa por (2,0).
    • f(3)=\log_{2}(3-1)=\log_{2}(2)=1. Ponto (3,1).
    • f(1{,}5)=\log_{2}(1{,}5-1)=\log_{2}(0{,}5)=\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-1. Ponto \bigl(1{,}5,-1\bigr).
    • f(1{,}25)=\log_{2}(0{,}25)=\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-2. Ponto \bigl(1{,}25,-2\bigr).
      Esses pontos mostram rapidamente como o gráfico sobe devagar para a direita e desce para -\infty perto de x=1.

Passo 6

Concavidade e forma fina do gráfico.
  • Segunda derivada para ver concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(x-1)\ln 2}\right)=-\frac{1}{(x-1)^2\ln 2}.
  • Como f''(x)<0 para todo x>1, a curva é côncava para baixo em todo o domínio.
  • Resumo da forma: curva crescente, lentamente crescente para grandes x, muito negativa perto de x=1, e côncava para baixo.

Passo 7

Interpretação geométrica como transformação de \log_{2}(x).
  • A função f(x)=\log_{2}(x-1) é exatamente o gráfico de g(x)=\log_{2}(x) deslocado uma unidade para a direita.
  • Portanto, para desenhar: desenhe o gráfico padrão de \log_{2}(x) e desloque tudo 1 unidade à direita. A assíntota vertical x=0 de \log_{2}(x) vira x=1 aqui; o zero que era em x=1 vira em x=2, etc.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (o que desenhar no papel da prova).
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque a assíntota vertical x=1 (linha tracejada).
  3. Plote os pontos: (2,0), (3,1), \bigl(1{,}5,-1\bigr), \bigl(1{,}25,-2\bigr).
  4. Una os pontos por uma curva suave que:
    • Vai para -\infty ao se aproximar de x=1^+,
    • Passe por (2,0),
    • Cresça lentamente para \infty quando x\to\infty,
    • Seja côncava para baixo.
  5. Rotule a assíntota x=1 e alguns pontos marcantes.
Dica amiga: se ficar nervoso, desenhe primeiro os pontos e a assíntota; a curva “encaixa” naturalmente entre eles.

Resposta

Domínio máximo: (1,\infty)
Esboço do gráfico: curva logarítmica crescente com assíntota vertical em x=1, passando por (2,0), (3,1), (1{,}5,-1), côncava para baixo e tendendo a -\infty quando x\to1^+ e a +\infty quando x\to\infty.

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