Exercício 1. Resolva as equações abaixo para
:
Passo 1
O enunciado dá a equação exponencial
e pede para encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa igualdade. Informações importantes dadas:
- A base é
(um número real positivo diferente de ). - O expoente é
, que depende da variável .
A pergunta é: quais valores defazem a igualdade ser verdadeira?
Passo 2
Propriedade chave que vamos usar (explicada passo a passo):
- Para qualquer base
com , a função exponencial é injetora (um-para-um). Isso significa que se então . - Em particular,
ocorre exatamente quando . Porque para qualquer . E se , tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos . Como (pois ), segue .
Aplicando isso ao caso com(que satisfaz e ), concluímos que a igualdade é equivalente a
Passo 3
Resolver a equação linear obtida:
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 4
Dividir ambos os lados por
para isolar
:
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
Substituir no expoente:
Substituir
portanto
o que confirma que a solução está correta.