Exercício 1. Resolva as equações abaixo para x \in \mathbb{R} :
11^{2 x+5}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial
11^{2x+5}=1,
e pede para encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade. Informações importantes dadas:
  • A base é 11 (um número real positivo diferente de 1).
  • O expoente é 2x+5, que depende da variável x.
    A pergunta é: quais valores de x\in\mathbb{R} fazem a igualdade ser verdadeira?

Passo 2

Propriedade chave que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Para qualquer base a>0 com a\neq1, a função exponencial a^t é injetora (um-para-um). Isso significa que se a^{t_1}=a^{t_2} então t_1=t_2.
  • Em particular, a^t=1 ocorre exatamente quando t=0. Porque a^0=1 para qualquer a\neq0. E se a^t=1, tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos t\ln a=\ln 1=0. Como \ln a\neq0 (pois a\neq1), segue t=0.
    Aplicando isso ao caso com a=11 (que satisfaz a>0 e a\neq1), concluímos que a igualdade 11^{2x+5}=1 é equivalente a
2x+5=0.

Passo 3

Resolver a equação linear obtida:
2x+5=0.
Subtraindo 5 dos dois lados:
2x = -5.

Passo 4

Dividir ambos os lados por 2 para isolar x:
x = -\dfrac{5}{2}.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
Substituir x=-\dfrac{5}{2} no expoente:
2\left(-\dfrac{5}{2}\right)+5 = -5+5=0,
portanto
11^{2x+5}=11^{0}=1,
o que confirma que a solução está correta.

Resposta

x=-\dfrac{5}{2}

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