Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Determinar o domínio máximo da função.
- Esboçar o gráfico da função (ou descrever como ele é, com pontos-chave e assíntotas).
As informações dadas são apenas a expressão
.
Passo 2
Primeiro, vou explicar o que significa “domínio máximo” de uma função: é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão dada faz sentido (ou seja, está definida). Para isso preciso lembrar da definição e das propriedades básicas de potências com base positiva:
- A função exponencial
com base (e ou mesmo ) está definida para todo . Isso porque para qualquer número real existe um valor real bem definido de . - No nosso caso a base é
, que é positiva e maior que , então não há restrição de .
Portanto, com essa ideia: toda expressão da forma
é válida para qualquer número real no “algo”.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto: a função é
. O expoente é
, que é um número real para qualquer
. Logo a função está definida para todo
real.
Assim concluo que o domínio máximo é o conjunto de todos os números reais.
Passo 4
Vou agora ensinar como encontrar a imagem (contradomínio efetivo, isto é, a “faixa de valores” que a função realmente assume), porque isso ajuda muito no esboço do gráfico.
- Para uma exponencial com base
vale que os valores são sempre positivos: para todo . - Portanto
para todo . Para ver os extremos: -
. -
.
-
- Assim a imagem (range) é
.
Uma forma prática de ver que qualquer
é atingido: dado
, resolve-se
. Como
existe para todo
, todo
aparece como valor de
.
Passo 5
Agora algumas propriedades importantes para o esboço:
- Monotonicidade: para base
, a exponencial é estritamente crescente. Podemos mostrar isso calculando a derivada: Como e para todo , segue sempre, logo é estritamente crescente. - Assíntota horizontal: como já vimos,
. Isso significa que a reta (o eixo ) é uma assíntota horizontal à esquerda.
Passo 6
Pontos-chave para desenhar sem calculadora (eu gosto de marcar alguns pontos fáceis):
-
. Então o ponto está no gráfico. -
. Então o ponto é o intercepto com o eixo . -
. Então também está no gráfico.
Observação útil:é exatamente o gráfico de deslocado uma unidade para a direita (porque ). Isso facilita: pega-se a curva padrão de e move-se tudo para a direita em .
Também é importante notar que não há intercepto com o eixo
porque
sempre.
Passo 7
Descrição do esboço (passo a passo prático para desenhar numa prova):
- Trace os eixos
e e desenhe a linha horizontal para lembrar a assíntota. - Marque os pontos
, e . - Desenhe uma curva que passe por esses pontos, que seja suave, crescente e que se aproxime de
à esquerda sem tocá-la, e que suba rapidamente para à direita. - Indique que a curva é o deslocamento à direita em
da curva .
Essa descrição é suficiente para um esboço claro em prova. Se for preciso justificar rapidez de crescimento, mencione que para cada aumento unitário em
a função multiplica por
:
.
Passo 8
Resumo das propriedades úteis (que também servem como “checklist” ao esboçar):
- Domínio: todos os reais.
- Imagem (range):
. - Assíntota horizontal:
. - Monotonicidade: estritamente crescente.
- Pontos para marcar:
, , . - Intercepto com
: nenhum; intercepto com : . - Relação com
: é o gráfico de deslocado 1 unidade para a direita.
Resposta
Domínio:
Esboço (descrição): curva exponencial estritamente crescente, assíntota horizontal
, passa por
,
,
; é o gráfico de
deslocado 1 unidade para a direita.