Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=2^{x-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=2^{x-1}:
  • Determinar o domínio máximo da função.
  • Esboçar o gráfico da função (ou descrever como ele é, com pontos-chave e assíntotas).
As informações dadas são apenas a expressão f(x)=2^{x-1}.

Passo 2

Primeiro, vou explicar o que significa “domínio máximo” de uma função: é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão dada faz sentido (ou seja, está definida). Para isso preciso lembrar da definição e das propriedades básicas de potências com base positiva:
  • A função exponencial a^{x} com base a>0 (e a\neq 1 ou mesmo a=1) está definida para todo x\in\mathbb{R}. Isso porque para qualquer número real x existe um valor real bem definido de a^{x}.
  • No nosso caso a base é 2, que é positiva e maior que 1, então não há restrição de x.
Portanto, com essa ideia: toda expressão da forma 2^{(\text{algo real})} é válida para qualquer número real no “algo”.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto: a função é f(x)=2^{x-1}. O expoente é (x-1), que é um número real para qualquer x\in\mathbb{R}. Logo a função está definida para todo x real.
Assim concluo que o domínio máximo é o conjunto de todos os números reais.

Passo 4

Vou agora ensinar como encontrar a imagem (contradomínio efetivo, isto é, a “faixa de valores” que a função realmente assume), porque isso ajuda muito no esboço do gráfico.
  • Para uma exponencial com base >1 vale que os valores são sempre positivos: a^{t}>0 para todo t\in\mathbb{R}.
  • Portanto f(x)=2^{x-1}>0 para todo x. Para ver os extremos:
    • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}2^{x-1}=+\infty.
    • \displaystyle\lim_{x\to-\infty}2^{x-1}=0.
  • Assim a imagem (range) é (0,\infty).
Uma forma prática de ver que qualquer y>0 é atingido: dado y>0, resolve-se y=2^{x-1}\iff x=1+\log_{2}y. Como \log_{2}y existe para todo y>0, todo y>0 aparece como valor de f.

Passo 5

Agora algumas propriedades importantes para o esboço:
  • Monotonicidade: para base 2>1, a exponencial é estritamente crescente. Podemos mostrar isso calculando a derivada: f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{x-1}.Como \ln(2)>0 e 2^{x-1}>0 para todo x, segue f'(x)>0 sempre, logo f é estritamente crescente.
  • Assíntota horizontal: como já vimos, \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0. Isso significa que a reta y=0 (o eixo x) é uma assíntota horizontal à esquerda.

Passo 6

Pontos-chave para desenhar sem calculadora (eu gosto de marcar alguns pontos fáceis):
  • f(1)=2^{1-1}=2^{0}=1. Então o ponto (1,1) está no gráfico.
  • f(0)=2^{0-1}=2^{-1}=\tfrac{1}{2}. Então o ponto (0,\tfrac{1}{2}) é o intercepto com o eixo y.
  • f(2)=2^{2-1}=2^{1}=2. Então (2,2) também está no gráfico.
    Observação útil: f(x)=2^{x-1} é exatamente o gráfico de g(x)=2^{x} deslocado uma unidade para a direita (porque f(x)=g(x-1)). Isso facilita: pega-se a curva padrão de 2^{x} e move-se tudo para a direita em 1.
Também é importante notar que não há intercepto com o eixo x porque f(x)>0 sempre.

Passo 7

Descrição do esboço (passo a passo prático para desenhar numa prova):
  1. Trace os eixos x e y e desenhe a linha horizontal y=0 para lembrar a assíntota.
  2. Marque os pontos (0,\tfrac{1}{2}), (1,1) e (2,2).
  3. Desenhe uma curva que passe por esses pontos, que seja suave, crescente e que se aproxime de y=0 à esquerda sem tocá-la, e que suba rapidamente para +\infty à direita.
  4. Indique que a curva é o deslocamento à direita em 1 da curva 2^{x}.
Essa descrição é suficiente para um esboço claro em prova. Se for preciso justificar rapidez de crescimento, mencione que para cada aumento unitário em x a função multiplica por 2: f(x+1)=2^{x+1-1}=2\cdot2^{x-1}=2f(x).

Passo 8

Resumo das propriedades úteis (que também servem como “checklist” ao esboçar):
  • Domínio: todos os reais.
  • Imagem (range): (0,\infty).
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Monotonicidade: estritamente crescente.
  • Pontos para marcar: (0,\tfrac{1}{2}), (1,1), (2,2).
  • Intercepto com x: nenhum; intercepto com y: (0,\tfrac{1}{2}).
  • Relação com 2^{x}: é o gráfico de 2^{x} deslocado 1 unidade para a direita.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Esboço (descrição): curva exponencial estritamente crescente, assíntota horizontal y=0, passa por (0,\tfrac{1}{2}), (1,1), (2,2); é o gráfico de 2^{x} deslocado 1 unidade para a direita.

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