Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é
. - Existe um logaritmo com base
, portanto a base deve satisfazer duas condições: e . - O argumento do logaritmo é
, logo é necessário que , isto é . - Combinando as restrições temos o domínio possível para
: e .
O objetivo: encontrar todos os valores de
no domínio que satisfazem a equação.
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar: o que é
e uma propriedade fundamental.
Definição: para
com
e
,
é o número
tal que
Ou seja,
é o expoente que transforma
em
.
Propriedade útil (inversa exponencial-logaritmo): para
,
e
,
Prova curta: escreva
, então por definição
. Substituindo
obtemos
. Essa propriedade é direta da definição e vale sempre que as condições de domínio forem satisfeitas.
Passo 3
Aplicando a propriedade na equação dada.
Na equação
, a expressão do lado esquerdo tem a forma
com
e
. Como
deve ser positivo e diferente de
(ver Passo 1), podemos usar a propriedade do Passo 2 para simplificar:
Portanto a equação original é equivalente (no domínio permitido) a
Passo 4
Resolver a equação linear obtida.
Subtraindo
dos dois lados:
Logo
Passo 5
Verificação e unicidade.
Verificar se
está no domínio:
e
, e
. Tudo OK. Substituindo na equação original para conferir:
pela propriedade
. Logo
satisfaz a equação.
Também é a única solução, porque a simplificação feita no Passo 3 é uma equivalência válida dentro do domínio
; portanto não surgem soluções extraneous.