Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
x^{\log _{x}(x+3)}=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{\log_{x}(x+3)}=7.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é x.
  • Existe um logaritmo com base x, portanto a base deve satisfazer duas condições: \,x>0\, e \,x\neq1.
  • O argumento do logaritmo é x+3, logo é necessário que x+3>0, isto é x>-3.
  • Combinando as restrições temos o domínio possível para x: x>0 e x\neq1.
O objetivo: encontrar todos os valores de x no domínio que satisfazem a equação.

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar: o que é \log_a b e uma propriedade fundamental.
Definição: para a>0 com a\neq1 e b>0, \log_a b é o número c tal que
a^{c}=b.
Ou seja, \log_a b é o expoente que transforma a em b.
Propriedade útil (inversa exponencial-logaritmo): para a>0, a\neq1 e b>0,
a^{\log_a b}=b.
Prova curta: escreva \log_a b=c, então por definição a^{c}=b. Substituindo c=\log_a b obtemos a^{\log_a b}=b. Essa propriedade é direta da definição e vale sempre que as condições de domínio forem satisfeitas.

Passo 3

Aplicando a propriedade na equação dada.
Na equação \,x^{\log_{x}(x+3)}=7, a expressão do lado esquerdo tem a forma a^{\log_a(\text{algo})} com a=x e \text{algo}=x+3. Como x deve ser positivo e diferente de 1 (ver Passo 1), podemos usar a propriedade do Passo 2 para simplificar:
x^{\log_{x}(x+3)} = x+3.
Portanto a equação original é equivalente (no domínio permitido) a
x+3=7.

Passo 4

Resolver a equação linear obtida.
Subtraindo 3 dos dois lados:
x+3=7 \quad\Longrightarrow\quad x=7-3.
Logo
x=4.

Passo 5

Verificação e unicidade.
Verificar se x=4 está no domínio: 4>0 e 4\neq1, e 4+3=7>0. Tudo OK. Substituindo na equação original para conferir:
4^{\log_{4}(4+3)} = 4^{\log_{4}7} = 7,
pela propriedade a^{\log_a b}=b. Logo x=4 satisfaz a equação.
Também é a única solução, porque a simplificação feita no Passo 3 é uma equivalência válida dentro do domínio x>0, x\neq1; portanto não surgem soluções extraneous.

Resposta

x=4

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