Exercício 0.7 Resolva os sistemas
\left\{\begin{array}{l}x+y=7, \\\ \log _{2} x+\log _{2} y=\log _{2} 12 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
\begin{cases} x+y=7,\\[4pt] \log_{2}x+\log_{2}y=\log_{2}12. \end{cases}
As informações relevantes que nos deram são:
  • Duas equações envolvendo x e y.
  • A segunda equação usa logaritmo na base 2.
O que o problema pede: encontrar todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas equações do sistema.]

Passo 2

Condição de existência (domínio): como aparecem \log_{2}x e \log_{2}y, precisamos que x e y sejam positivos. Portanto
x>0,\qquad y>0.
Sempre que houver logaritmos de variáveis, verificar domínio é o primeiro passo — se alguma solução que encontrarmos for não positiva, ela é inválida.

Passo 3

Propriedade útil de logaritmos: para qualquer base positiva diferente de 1 e quaisquer u>0, v>0,
\log_{a}u+\log_{a}v=\log_{a}(uv).
Aqui a base é a=2, válida. Aplicando essa propriedade à segunda equação:
\log_{2}x+\log_{2}y=\log_{2}(xy).
Como a equação dada é \log_{2}x+\log_{2}y=\log_{2}12, podemos igualar os argumentos dos logaritmos (função \log_2 é injetora):
\log_{2}(xy)=\log_{2}12\quad\Rightarrow\quad xy=12.

Passo 4

Agora temos um sistema mais simples:
\begin{cases} x+y=7,\\[4pt] xy=12,\\[4pt] x>0,\\ y>0. \end{cases}
Este tipo de sistema é clássico: x e y são as raízes de um polinômio quadrático cuja soma e produto são conhecidos. Mais precisamente, se t é uma variável genérica, as raízes da equação
t^{2}-(x+y)t+xy=0
são exatamente t=x e t=y. Substituindo x+y=7 e xy=12 obtemos a quadrática
t^{2}-7t+12=0.]

Passo 5

Resolver a quadrática \;t^{2}-7t+12=0\;. Podemos fatorar ou usar o discriminante. Tentando fatorar por inspeção: queremos dois números cuja soma seja 7 e cujo produto seja 12. Os candidatos inteiros são 3 e 4, pois 3+4=7 e 3\cdot4=12. Logo
t^{2}-7t+12=(t-3)(t-4).
Portanto as raízes são
t=3\quad\text{e}\quad t=4.

Passo 6

Interpretando as raízes: como as raízes da quadrática são t=3 e t=4, isso significa que os valores possíveis para x e y são 3 e 4 em qualquer ordem. Devemos também checar o domínio: 3>0 e 4>0, então ambas as possibilidades são válidas.

Passo 7

Verificação rápida nas equações originais:
  • Para (x,y)=(3,4): x+y=3+4=7 e \log_{2}3+\log_{2}4=\log_{2}(3\cdot4)=\log_{2}12. OK.
  • Para (x,y)=(4,3): idem, por simetria também satisfaz.
Portanto as soluções do sistema são os pares (3,4) e (4,3).

Resposta

(x,y)=(3,4)
(x,y)=(4,3)

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