O enunciado nos dá o sistema com incógnitas x\) e \(y\):
\[\begin{cases} 3\log x - 2\log y = 0,\\[4pt] 4\log x + 3\log y = 17. \end{cases}
Informações importantes que temos desde o enunciado:
As incógnitas aparecem dentro de logaritmos, então devemos ter x>0\] e \(y>0 (pois o logaritmo é definido apenas para argumentos positivos).
Não foi especificada a base do logaritmo. Se a base for a usual (base 10), então no final obteremos números concretos; se for outra base positiva diferente de 1 o procedimento algébrico é o mesmo, apenas a interpretação final em termos de potências muda.
O que o problema pede é encontrar x e y que satisfaçam simultaneamente as duas equações.]
Passo 2
Estratégia prática e propriedades de logaritmo que vamos usar (mini-aula rápida, sem pressa):
Se definirmos \displaystyle u=\log x e \displaystyle v=\log y, transformamos as equações em um sistema linear em u e v. Isso é útil porque as equações dadas são combinações lineares das quantidades \log x e \log y.
Propriedades que justificam essa troca:
O logaritmo converte potências em produto por expoente: \log(x^a)=a\log x.
Para qualquer base fixa de logaritmo, \log x e \log y são números reais quando x>0,y>0.
Portanto, fazer a substituição u=\log x, v=\log y simplifica o sistema sem perder informação.
Passo 3
Fazer a substituição \;u=\log x,\;v=\log y. O sistema em u,v fica:
Voltar às incógnitas originais. Lembrando que u=\log x e v=\log y, temos
\log x = 2,\qquad \log y = 3.
Isto significa que x e y são as potências da base do logaritmo elevadas a esses valores. Se a base do logaritmo for a base usual 10 (o costume em muitos exercícios), então
x = 10^{2} = 100,\qquad y = 10^{3} = 1000.
Se a base do logaritmo fosse uma base genérica b>0,\;b\neq1, então a resposta geral seria x=b^{2},\;y=b^{3}. Mas, assumindo a base decimal (mais comum), obtemos os valores numéricos acima.
Passo 6
Verificação rápida (com base 10): calcular as expressões do sistema com x=100 e y=1000: