Exercício 0.7 Resolva os sistemas
\left\{\begin{array}{l}3 \log x-2 \log y=0, \\\\ 4 \log x+3 \log y=17 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema com incógnitas x\) e \(y\): \[\begin{cases} 3\log x - 2\log y = 0,\\[4pt] 4\log x + 3\log y = 17. \end{cases}
Informações importantes que temos desde o enunciado:
  • As incógnitas aparecem dentro de logaritmos, então devemos ter x>0\] e \(y>0 (pois o logaritmo é definido apenas para argumentos positivos).
  • Não foi especificada a base do logaritmo. Se a base for a usual (base 10), então no final obteremos números concretos; se for outra base positiva diferente de 1 o procedimento algébrico é o mesmo, apenas a interpretação final em termos de potências muda.
  • O que o problema pede é encontrar x e y que satisfaçam simultaneamente as duas equações.]

Passo 2

Estratégia prática e propriedades de logaritmo que vamos usar (mini-aula rápida, sem pressa):
  • Se definirmos \displaystyle u=\log x e \displaystyle v=\log y, transformamos as equações em um sistema linear em u e v. Isso é útil porque as equações dadas são combinações lineares das quantidades \log x e \log y.
  • Propriedades que justificam essa troca:
    • O logaritmo converte potências em produto por expoente: \log(x^a)=a\log x.
    • Para qualquer base fixa de logaritmo, \log x e \log y são números reais quando x>0,y>0.
  • Portanto, fazer a substituição u=\log x, v=\log y simplifica o sistema sem perder informação.

Passo 3

Fazer a substituição \;u=\log x,\;v=\log y. O sistema em u,v fica:
\begin{cases} 3u-2v=0,\\[4pt] 4u+3v=17. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema linear. Vou usar substituição (passo a passo):
Da primeira equação,
3u-2v=0 \quad\Rightarrow\quad 3u=2v \quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{2v}{3}.
Substituo esse u na segunda equação:
4\!\left(\dfrac{2v}{3}\right) + 3v = 17.
Calculo o termo à esquerda com cuidado:
\dfrac{8v}{3} + 3v = \dfrac{8v}{3} + \dfrac{9v}{3} = \dfrac{17v}{3}.
Assim
\dfrac{17v}{3} = 17 \quad\Rightarrow\quad v = 3.
Agora volto em u=\dfrac{2v}{3}:
u = \dfrac{2\cdot 3}{3} = 2.
Portanto encontramos \;u=2 e \;v=3.

Passo 5

Voltar às incógnitas originais. Lembrando que u=\log x e v=\log y, temos
\log x = 2,\qquad \log y = 3.
Isto significa que x e y são as potências da base do logaritmo elevadas a esses valores. Se a base do logaritmo for a base usual 10 (o costume em muitos exercícios), então
x = 10^{2} = 100,\qquad y = 10^{3} = 1000.
Se a base do logaritmo fosse uma base genérica b>0,\;b\neq1, então a resposta geral seria x=b^{2},\;y=b^{3}. Mas, assumindo a base decimal (mais comum), obtemos os valores numéricos acima.

Passo 6

Verificação rápida (com base 10): calcular as expressões do sistema com x=100 e y=1000:
3\log 100 - 2\log 1000 = 3\cdot 2 - 2\cdot 3 = 6-6 = 0,
4\log 100 + 3\log 1000 = 4\cdot 2 + 3\cdot 3 = 8+9 = 17.
As duas equações são satisfeitas. Beleza — está correto!

Resposta

x=100
y=1000

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