Um pacote contém 24 doces, sendo 9 de chocolate. São retirados 6 doces do pacote. Qual a probabilidade de que exatamente 3 sejam de chocolate?

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos:
  • Tem um pacote com \,24) doces no total.
  • Desses, \,9) são de chocolate e os restantes \,24-9=15) não são de chocolate.
  • São retirados \,6) doces sem reposição.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente \,3) dos \,6) retirados sejam de chocolate?

Passo 2

Ideia combinatória (modelo): como a retirada é sem reposição e todas as combinações de \,6) doces são igualmente prováveis, a probabilidade é
\text{probabilidade}=\frac{\text{nº de maneiras favoráveis}}{\text{nº de maneiras possíveis}}.ºáºí
  • Nº de maneiras possíveis: escolher quaisquer \,6) doces dentre \,24), isto é \displaystyle \binom{24}{6}.
  • Nº de maneiras favoráveis (exatamente \,3) chocolates): escolher \,3) chocolates dentre os \,9) disponíveis e escolher \,3) não-chocolates dentre os \,15). Assim as maneiras favoráveis são
\binom{9}{3}\cdot\binom{15}{3}.

Passo 3

Definição e cálculo da combinação: para entender \binom{n}{k},
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n (produto dos inteiros de 1 a n). Agora calculamos cada combinação necessária de forma direta e simplificada (sem escrever fatorias gigantes).
Calcular \displaystyle \binom{9}{3}:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}= \frac{504}{6}=84.
Calcular \displaystyle \binom{15}{3}:
\binom{15}{3}=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}= \frac{2730}{6}=455.
Multiplicando as favoráveis:
\binom{9}{3}\cdot\binom{15}{3}=84\cdot455=38220.

Passo 4

Calcular o denominador \displaystyle \binom{24}{6} de forma prática, simplificando frações:
\binom{24}{6}=\frac{24\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20\cdot19}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo cancelamentos passo a passo:
  • 24/6=4.
  • 20/5=4.
  • 4/4=1.
  • 21/3=7.
  • 22/2=11.
    Restam os fatores 1,\,23,\,11,\,7,\,4,\,19. Multiplicando:
1\cdot23\cdot11\cdot7\cdot4\cdot19 = 134596.
Logo \displaystyle \binom{24}{6}=134596.

Passo 5

Montando a probabilidade e simplificando a fração:
\text{probabilidade}=\frac{38220}{134596}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 28 (por exemplo): 38220/28=1365 e 134596/28=4807. Assim a fração na forma irredutível é
\frac{1365}{4807}.

Passo 6

Aproximação decimal e interpretação:
\frac{1365}{4807}\approx 0,28398\quad\text{(aprox.)}
Ou seja, cerca de 28{,}4\% de chance de que exatamente \,3) dos \,6) doces retirados sejam de chocolate. Força aí — é uma probabilidade razoável, quase 3 em 10!

Resposta

\displaystyle \frac{1365}{4807}\approx 0,28398

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