Exercício 1 Escreva na forma polar:
z_{1} z_{2}, \frac{z_{1}}{z_{\sim}} onde z_{1}=1-i e z_{2}=-1+i \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede para escrever em forma polar o produto z_1z_2 e o quociente \frac{z_1}{z_2}, onde z_{1}=1-i e z_{2}=-1+i\sqrt{3}. Para isso, precisamos colocar cada número complexo na forma
z = r\,e^{i\theta},
onde r = \sqrt{x^2+y^2} é o módulo e \theta = \Arg(z) é o argumento principal.

Passo 2

Encontrar a forma polar de z_1=1-i. Aqui x_1=1, y_1=-1, então
r_1 = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2},
e o argumento fica
\theta_1 = \arctan\!\bigl(\tfrac{y_1}{x_1}\bigr) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \quad(\text{no 4º quadrante}).º
Logo,
z_1 = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}.

Passo 3

Encontrar a forma polar de z_2=-1+i\sqrt{3}. Aqui x_2=-1, y_2=\sqrt{3}, então
r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2,
e o argumento fica
\theta_2 = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{-1}\bigr) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3},
porém como o ponto está no 2º quadrante,
\theta_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
Logo,
z_2 = 2\,e^{i\,2\pi/3}.

Passo 4

Calcular o produto z_1z_2 em forma polar. Basta multiplicar os módulos e somar os argumentos:
r_{12} = r_1\,r_2 = \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2},
\theta_{12} = \theta_1 + \theta_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}.
Portanto,
z_1 z_2 = 2\sqrt{2}\,e^{i\,5\pi/12}.

Passo 5

Calcular o quociente \dfrac{z_1}{z_2} em forma polar. Basta dividir os módulos e subtrair os argumentos:
r_{1/2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{2}}{2},
\theta_{1/2} = \theta_1 - \theta_2 = -\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{8\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}.
Portanto,
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-i\,11\pi/12}.

Resposta

z_1 z_2 = 2\sqrt{2}\,e^{i\,5\pi/12}. \displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-i\,11\pi/12}.

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