Exercício 4. Resolva as inequações modulares:
|7-2 x5+3 x| <= 12

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação modular
|7-2x5+3x|<=12
Estamos lidando com inequação que envolve valor absoluto e fração, então vamos anotar o domínio onde está definida:
5+3xneq 0Longrightarrow xneq -tfrac53

Passo 2

Para eliminar o valor absoluto de uma fração, multiplicamos ambos os lados por l|5+3xr|, que é positivo fora de x=-tfrac53. Assim obtemos
l|7-2xr|<= 12,l|5+3xr| Longrightarrow 2,l|7-2xr|<= l|5+3xr|

Passo 3

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar os módulos:
l(2,(7-2x)r)^2 <= l(5+3xr)^2 Longrightarrow 4,(7-2x)^2 <= (5+3x)^2

Passo 4

Expandindo e trazendo tudo para um lado, temos
4,(49 -28x +4x^2)<= 25 +30x +9x^2 Longrightarrow 196 -112x +16x^2 <= 25 +30x +9x^2
Longrightarrow 7x^2 -142x +171 <= 0

Passo 5

O discriminante dessa quadrática é
De<a = (-142)^2 -4cdot7cdot171 =15376 =124^2,
logo as raízes são
x = 142pm12414 ;Longrightarrow; x=97ou x=1337
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a inequação 7x^2-142x+171<=0 vale para
97<= x<= 1337

Passo 6

Falta só checar o ponto excluído x=-tfrac53, mas ele não está dentro do intervalo l[tfrac97,tfrac1337r]. Portanto a solução da inequação original é
xin [97,,1337]

Resposta

[97,,1337]

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