Questão 11: Verifique se a função é contínua em [0,1], onde f(x)=cc1-raizxx-2, & 0 <= x<1 12, & x=1.

Passo 1

O enunciado define a função
O objetivo é verificar a continuidade de . Para isso, precisamos checar (i) continuidade em cada ponto interno , (ii) continuidade no extremo e (iii) continuidade no ponto , onde há troca de definição.]

Passo 2

Para 0<x<1 temos
f(x)=1-raizxx-2
Como xmapstoraizx é contínua em (0,1), e xmapsto x-2 também é contínua e jamais nula neste intervalo (pois x-2< -1), o quociente de funções contínuas com denominador não nulo é contínuo. Logo, f é contínua em todo (0,1).

Passo 3

No ponto x=0 aplica-se a mesma expressão do ramo [0,1). Calculamos
f(0)=1-raiz00-2=1-2=-12
e o limite lateral pela direita
limxto0^+f(x) =limxto0^+1-raizxx-2 =1-00-2=-12
Como limxto0^+f(x)=f(0), f é contínua em x=0.

Passo 4

No ponto x=1 temos valor definido f(1)=tfrac12. Porém o limite pela esquerda é
limxto1^-f(x) =limxto1^-1-raizxx-2 =1-11-2 =0
Como limxto1^-f(x)=0neq tfrac12=f(1), f é descontínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em [0,1) mas apresenta descontinuidade em x=1. Portanto, f não é contínua em todo [0,1].

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