Exercício 2.3.2. Resolva as integrais:
Id=integral x^3-3 x+3x^2+x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
Id=integral x^3-3x+3x^2+x-2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais. Para isso, primeiro usamos divisão de polinômios para separar um polinômio de grau inferior e depois aplicamos decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^3-3x+3 por x^2+x-2:
x^3-3x+3x^2+x-2 = x - 1 + 1x^2+x-2

Passo 3

No resto temos
1x^2+x-2 =1(x+2)(x-1),
que exige decomposição em frações parciais da forma
1(x+2)(x-1)=Ax+2+Bx-1

Passo 4

Multiplicando por (x+2)(x-1) obtemos
A(x-1)+B(x+2)=1
Comparando coeficientes de x e termo independente:
A+B=0, -,A+2B=1
Dessa forma B=tfrac13 e A=-tfrac13.

Passo 5

Agora a integral se escreve
integrall(x-1 -1/3x+2 + 1/3x-1r),dx
Integramos termo a termo: integral x,dx=x^22, integral(-1),dx=-x, integral-1/3x+2,dx=-13ln|x+2| e integral1/3x-1,dx=13ln|x-1|.

Resposta

Id = x^22-x -13lnl|x+2r| +13lnl|x-1r| + C,
ou equivalentemente
Id = x^22-x +13lnl|x-1x+2r| + C

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