Exercício 2.3.2. Resolva as integrais:
If=integral 2 x^2+3(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
If = integral 2x^2 + 3(x^2+1)^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais, em que vamos usar decomposição do numerador e, em seguida, uma substituição trigonométrica para o termo 1(x^2+1)^2.

Passo 2

Repare que
2x^2 + 3 = 2(x^2+1) + 1,
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2x^2+3(x^2+1)^2 = 2(x^2+1)(x^2+1)^2 + 1(x^2+1)^2 = 2x^2+1 + 1(x^2+1)^2
Portanto
If = integral 2x^2+1,dx + integral 1(x^2+1)^2,dx

Passo 3

A primeira integral é imediata, pois
integral 1x^2+1,dx = arctan x + C
Então
integral 2x^2+1,dx = 2,arctan x

Passo 4

Para
integral 1(x^2+1)^2,dx,
fazemos a substituição x = tantheta, daí ,dx=sec^2theta,dtheta e ,x^2+1=sec^2theta. Logo
integral 1(x^2+1)^2,dx = integral sec^2thetasec^4theta,dtheta = integral cos^2theta,dtheta
Usando cos^2theta = tfrac1+cos2theta2, temos
integral cos^2theta,dtheta = integral 1+cos2theta2,dtheta = theta2 + sin2theta4 + C
Voltando a x:
theta = arctan x e
sin2theta = 2tantheta1+tan^2theta = 2xx^2+1.
Assim
integral 1(x^2+1)^2,dx = 12arctan x + 14,2xx^2+1 + C = 12arctan x + x2(x^2+1) + C

Passo 5

Somando as duas partes:
If = 2,arctan x + l(12arctan x + x2(x^2+1)r) + C = 52,arctan x + x2(x^2+1) + C

Resposta

If = 52,arctan x + x2(x^2+1) + C

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