Resolva as equações a seguir:
y^prime=e^2 x-y;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^2x - y
que é do tipo separável. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Começamos reescrevendo a derivada e separando as variáveis x e y. Como
dydx = e^2x - y,
multiplicamos ambos os lados por e^y,dx, obtendo
e^y,dy = e^2x,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado, já que as duas funções são contínuas no domínio considerado:
integral e^y,dy ;=;integral e^2x,dx

Passo 4

Calculamos as integrais separadamente:
integral e^y,dy = e^y+C1,
integral e^2x,dx = 12e^2x+C2
Podemos agrupar as constantes de integração num único C, definindo C = C2 - C1.

Passo 5

Igualando as duas expressões e incorporando a constante C, temos
e^y = 12e^2x + C
Para isolar y, aplicamos o logaritmo natural:
y = ln!l(tfrac12e^2x + Cr)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = ln!l(tfrac12e^2x + Cr),
onde C é constante arbitrária.

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