Exercício 2. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que: 0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq x^{2}.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região do plano dada por:
0 \leq x \leq 2,
0 \leq y \leq x^{2}.
Pergunta explicitamente: calcular o volume do sólido obtido por essa rotação.
Informações relevantes dadas:
A região é limitada à direita por x=2, à esquerda por x=0 (eixo y), por baixo por y=0 (eixo x) e por cima pela curva y=x^{2}.
O eixo de rotação é o eixo y.
Passo 2
Escolha do método de cálculo: método dos cilindros (método das cascas cilíndricas).
Motivo: a região está naturalmente descrita em função de x (temos y como função de x e x varia de 0 a 2). Ao girar uma estreita faixa vertical em x ao redor do eixo y, ela gera uma casca cilíndrica — esse é exatamente o cenário ideal para o método das cascas. Esse método evita ter que inverter a função para x em função de y, tornando as contas mais diretas.
Breve explicação didática do método das cascas:
Imagine uma tira vertical estreita na posição x, de largura dx, que vai de y=0 até y=x^{2}. Ao girar essa tira em torno do eixo y, obtemos uma casca cilíndrica fina.
O volume aproximado dessa casca é a área lateral do cilindro multiplicada pela espessura: dV \approx (perímetro da casca) \times (altura da casca) \times (espessura).
Perímetro (circunferência) da casca: 2\pi \times (raio) onde o raio é a distância da tira ao eixo y, isto é x.
Altura da casca: x^{2}-0 = x^{2}.
Espessura: dx.
Logo a fórmula elementar do método das cascas é
dV = 2\pi \,(\text{raio})\,(\text{altura})\,dx = 2\pi x\cdot x^{2}\,dx.
Passo 3
Montar a integral do volume somando (integrando) todas as cascas de x=0 até x=2.
Usando o dV acima,
V = \int_{0}^{2} 2\pi x\cdot x^{2}\,dx.
Simplificando o integrando:
V = 2\pi \int_{0}^{2} x^{3}\,dx.
Aqui cada símbolo significa:
V: volume procurado;
o fator 2\pi vindo do perímetro da casca;
x^{3} é o produto do raio x pela altura x^{2};
a integração de 0 a 2 soma todas as cascas desde o eixo (x=0) até a borda da região (x=2).
Passo 4
Calcular a integral passo a passo (sem calculadora):
Antiderivada de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}. Explicação: a regra básica de potências diz que \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n=3.
Resultado coincide com o obtido pelo método das cascas, confirmando que V=8\pi.
Passo 6
Comentário final e encorajamento:
O método das cascas foi natural aqui porque a região é dada por y em função de x e o eixo de rotação é vertical. Sempre que o eixo de rotação for paralelo ao eixo da variável de integração (aqui y-eixo paralelo ao eixo vertical e integrando em x), pense em cascas.
Se preferir integrar em y, o método dos discos/aneis também funciona, desde que se saiba inverter a função; é bom ter os dois na manga para a prova.
Boa! Já tem um resultado limpo e fácil de decorar: o volume é 8\pi. Vai com confiança na prova — e respira fundo, você consegue!