Exercício 2. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que:
0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região do plano dada por:
  • 0 \leq x \leq 2,
  • 0 \leq y \leq x^{2}.
Pergunta explicitamente: calcular o volume do sólido obtido por essa rotação.
Informações relevantes dadas:
  • A região é limitada à direita por x=2, à esquerda por x=0 (eixo y), por baixo por y=0 (eixo x) e por cima pela curva y=x^{2}.
  • O eixo de rotação é o eixo y.

Passo 2

Escolha do método de cálculo: método dos cilindros (método das cascas cilíndricas).
Motivo: a região está naturalmente descrita em função de x (temos y como função de x e x varia de 0 a 2). Ao girar uma estreita faixa vertical em x ao redor do eixo y, ela gera uma casca cilíndrica — esse é exatamente o cenário ideal para o método das cascas. Esse método evita ter que inverter a função para x em função de y, tornando as contas mais diretas.
Breve explicação didática do método das cascas:
  • Imagine uma tira vertical estreita na posição x, de largura dx, que vai de y=0 até y=x^{2}. Ao girar essa tira em torno do eixo y, obtemos uma casca cilíndrica fina.
  • O volume aproximado dessa casca é a área lateral do cilindro multiplicada pela espessura: dV \approx (perímetro da casca) \times (altura da casca) \times (espessura).
  • Perímetro (circunferência) da casca: 2\pi \times (raio) onde o raio é a distância da tira ao eixo y, isto é x.
  • Altura da casca: x^{2}-0 = x^{2}.
  • Espessura: dx.
    Logo a fórmula elementar do método das cascas é
dV = 2\pi \,(\text{raio})\,(\text{altura})\,dx = 2\pi x\cdot x^{2}\,dx.

Passo 3

Montar a integral do volume somando (integrando) todas as cascas de x=0 até x=2.
Usando o dV acima,
V = \int_{0}^{2} 2\pi x\cdot x^{2}\,dx.
Simplificando o integrando:
V = 2\pi \int_{0}^{2} x^{3}\,dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • V: volume procurado;
  • o fator 2\pi vindo do perímetro da casca;
  • x^{3} é o produto do raio x pela altura x^{2};
  • a integração de 0 a 2 soma todas as cascas desde o eixo ( x=0) até a borda da região ( x=2).

Passo 4

Calcular a integral passo a passo (sem calculadora):
  • Antiderivada de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}. Explicação: a regra básica de potências diz que \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n=3.
  • Então
V = 2\pi \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}.
  • Avaliando nos limites:
\left.\dfrac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \dfrac{2^{4}}{4} - \dfrac{0^{4}}{4} = \dfrac{16}{4} - 0 = 4.
  • Portanto
V = 2\pi \cdot 4 = 8\pi.

Passo 5

Verificação alternativa (didática): método dos discos/arrochas integrando em y — para confirmar que o resultado bate.
  • Inverter a relação: a curva y=x^{2} x=\sqrt{y} para x\ge 0.
  • Para um corte horizontal em altura y, a rotação da região entre x=0 e x=\sqrt{y} gera um disco de raio R=\sqrt{y}.
  • Área desse disco: \pi R^{2} = \pi (\sqrt{y})^{2} = \pi y.
  • Os valores de y vão de 0 (base) até y=2^{2}=4 (no extremo x=2).
  • Então
V = \int_{0}^{4} \pi y\,dy = \pi \left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = \pi \cdot \dfrac{16}{2} = 8\pi.
  • Resultado coincide com o obtido pelo método das cascas, confirmando que V=8\pi.

Passo 6

Comentário final e encorajamento:
  • O método das cascas foi natural aqui porque a região é dada por y em função de x e o eixo de rotação é vertical. Sempre que o eixo de rotação for paralelo ao eixo da variável de integração (aqui y-eixo paralelo ao eixo vertical e integrando em x), pense em cascas.
  • Se preferir integrar em y, o método dos discos/aneis também funciona, desde que se saiba inverter a função; é bom ter os dois na manga para a prova.
  • Boa! Já tem um resultado limpo e fácil de decorar: o volume é 8\pi. Vai com confiança na prova — e respira fundo, você consegue!

Resposta

8\pi

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