Exercício 1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que:
0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de pontos (x,y) descrito por:
0 \leq x \leq 2,\qquad 0 \leq y \leq x^{2}.
Pede-se: calcular o volume do sólido obtido ao girar esse conjunto em torno do eixo x.

Passo 2

Vamos decidir como calcular o volume. Quando um conjunto plano é girado em torno do eixo x e é limitado acima por uma função y=f(x) e abaixo pelo eixo x (ou por y=0), cada seção perpendicular ao eixo x é um disco. A ideia é dividir o intervalo em fatias finas de espessura dx, aproximar cada fatia por um cilindrinho (ou disco) de raio igual à ordenada da curva e somar os volumes desses discos. Essa soma, no limite, vira uma integral.
A fórmula do método dos discos é:
V=\int_{a}^{b} \pi\,[r(x)]^{2}\,dx,
onde r(x) é o raio do disco em função de x, e a,b são os limites em x. Aqui r(x) é a distância do eixo x até a fronteira superior do conjunto.
Um exemplo simples para fixar a ideia: se y=R constante em 0\le x\le h, a fórmula dá
V=\int_{0}^{h}\pi R^{2}\,dx=\pi R^{2}h,
que é o volume do cilindro esperado.

Passo 3

No nosso problema a fronteira superior é y=x^{2} e a fronteira inferior é y=0 (o eixo x). Portanto o raio do disco em posição x é
r(x)=x^{2}.
Os limites em x são a=0 e b=2.

Passo 4

Montando a integral pelo método dos discos:
V=\int_{0}^{2}\pi\,[r(x)]^{2}\,dx =\int_{0}^{2}\pi\,(x^{2})^{2}\,dx =\pi\int_{0}^{2}x^{4}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral. Usamos a regra de potências para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=4:
\int_{0}^{2}x^{4}\,dx=\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{5}}{5}-\frac{0^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
Multiplicando por \pi obtemos
V=\pi\cdot\frac{32}{5}=\frac{32\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{32\pi}{5}

Exercícios relacionados