Exercício 1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
e
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de pontos
descrito por:
Pede-se: calcular o volume do sólido obtido ao girar esse conjunto em torno do eixo
.
Passo 2
Vamos decidir como calcular o volume. Quando um conjunto plano é girado em torno do eixo
e é limitado acima por uma função
e abaixo pelo eixo
(ou por
), cada seção perpendicular ao eixo
é um disco. A ideia é dividir o intervalo em fatias finas de espessura
, aproximar cada fatia por um cilindrinho (ou disco) de raio igual à ordenada da curva e somar os volumes desses discos. Essa soma, no limite, vira uma integral.
A fórmula do método dos discos é:
onde
é o raio do disco em função de
, e
são os limites em
. Aqui
é a distância do eixo
até a fronteira superior do conjunto.
Um exemplo simples para fixar a ideia: se
constante em
, a fórmula dá
que é o volume do cilindro esperado.
Passo 3
No nosso problema a fronteira superior é
e a fronteira inferior é
(o eixo
). Portanto o raio do disco em posição
é
Os limites em
são
e
.
Passo 4
Montando a integral pelo método dos discos:
Passo 5
Agora calculamos a integral. Usamos a regra de potências para integrais: para
,
Aplicando com
:
Multiplicando por
obtemos