Exercício 2.3.1. Resolva::
Resolva a integral Ic=integral 12 x^2+3 x+1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ic = integral 12x^2 + 3x + 1,dx
O conteúdo necessário é decomposição em frações parciais, pois o integrando é uma função racional cujo polinômio do denominador pode ser fatorado em raízes reais distintas.

Passo 2

Fatoramos o denominador 2x^2+3x+1. Procuramos números que façam
2x^2+3x+1 = (2x + 1)(x + 1)
Logo sua fatoração é correta, pois (2x+1)(x+1)=2x^2+2x+x+1=2x^2+3x+1.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes de e termo independente, formamos o sistema
Da primeira equação vem (A = -2B]. Substituindo na segunda:

Passo 4

Substituindo A e B na integral, fica
Ic = integral l(22x+1 - 1x+1r),dx = 2integral 12x+1,dx ;-;integral 1x+1,dx
Para a primeira integral, use u = 2x+1, de onde du = 2,dx e
integral 12x+1,dx = 12 integral 1u,du = 12 lnl|ur| = 12 lnl|2x+1r|
Portanto
2integral 12x+1,dx = 2cdot 12 lnl|2x+1r| = lnl|2x+1r|,
e a segunda integral é
integral 1x+1,dx = lnl|x+1r|

Passo 5

Juntando os resultados:
Ic = lnl|2x+1r| ;-; lnl|x+1r| + C = ln!gl|2x+1x+1gr| + C

Resposta

Ic = ln!gl|2x+1x+1gr| + C

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