Exercício 2.3.1. Resolva::
Encontre o valor de Ib=integral x^2x+2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Ib = integral x^2x+2,dx
O conteúdo envolvido é a integração de funções racionais onde o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. Nesse caso, vamos usar divisão de polinômios para separar a integral em termos mais simples.

Passo 2

Fazemos a divisão de polinômios de x^2 por x+2. Escrevemos
x^2 = (x+2),(x-2) + 4,
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x^2x+2 = x - 2 + 4x+2

Passo 3

Substituímos na integral:
Ib = integrall(x - 2 + tfrac4x+2r),dx = integral x,dx ;-; integral 2,dx ;+; 4integral 1x+2,dx
Agora integramos cada termo:
integral x,dx = x^22, integral 2,dx = 2x, integral 1x+2,dx = lnl|x+2r|

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
Ib = x^22 ;-; 2x ;+; 4,lnl|x+2r| ;+; C

Resposta

Ib = x^22 - 2x + 4lnl|x+2r| + C

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