Exercício 4. Resolva os itens abaixo.
Mostre que a função
, dada por
, é diferenciável para todo
e tem-se
Mostre que a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
,
,
é diferenciável em todo ponto e determinar sua diferencial e gradiente.
O que vamos usar é a definição de diferenciabilidade em : existe uma forma linear
tal que
é diferenciável em todo ponto
O que vamos usar é a definição de diferenciabilidade em
isto é,
Passo 2
Pense no candidato à diferencial em
como
Em outras palavras, esperamos
e, em coordenadas,
.
Para validar, precisamos mostrar
Para validar, precisamos mostrar
Passo 3
Use a identidade
Logo
Reagrupando e usando
, nota-se que o numerador fica da ordem de
. Portanto o quociente acima é
e tende a zero quando
.
Passo 4
Concluímos que
é diferenciável em todo
e que a forma linear
coincide com o
proposto. Em coordenadas: