Exercício 4. Resolva os itens abaixo.
Mostre que a função w: R^d longrightarrow R, dada por w(x)=|x|, é diferenciável para todo x neq 0 e tem-se
d w(x)=x^t|x| e nabla w(x)=x|x|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
wcolonR^dtoR,
w(x)=lvert xrvert,
é diferenciável em todo ponto xneq0 e determinar sua diferencial e gradiente.
O que vamos usar é a definição de diferenciabilidade em R^d: existe uma forma linear L tal que
w(x+h)=w(x)+L(h)+o(lVert hrVert),
isto é,
limhto0w(x+h)-w(x)-L(h)lVert hrVert=0

Passo 2

Pense no candidato à diferencial em xneq0 como
L(h)=llang<= xlvert xrvert,,hrrang<=
Em outras palavras, esperamos
dw(x)[h]=llang<= xlvert xrvert,hrrang<=
e, em coordenadas, dw(x)=tfracx^tlvert xrvert.
Para validar, precisamos mostrar
limhto0lvert x+hrvert-lvert xrvert-llang<= x/lvert xrvert,hrrang<=lVert hrVert=0

Passo 3

Use a identidade
lvert x+hrvert-lvert xrvert =lvert x+hrvert^2-lvert xrvert^2lvert x+hrvert+lvert xrvert =2lang<= x,hrang<=+lVert hrVert^2lvert x+hrvert+lvert xrvert
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lvert x+hrvert-lvert xrvert-llang<= xlvert xrvert,hrrang<= =2lang<= x,hrang<=+lVert hrVert^2lvert x+hrvert+lvert xrvert -lang<= x,hrang<=lvert xrvert
Reagrupando e usando lvert x+hrverttolvert xrvert>0, nota-se que o numerador fica da ordem de lVert hrVert^2. Portanto o quociente acima é O(lVert hrVert) e tende a zero quando hto0.

Passo 4

Concluímos que w é diferenciável em todo xneq0 e que a forma linear dw(x) coincide com o L proposto. Em coordenadas:
dw(x)=x^tlvert xrvert e nabla w(x)=xlvert xrvert

Resposta

dw(x)=x^tlvert xrvert e nabla w(x)=xlvert xrvert

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