Exercício 11. (D. 3.5, ex.3.4) Seja f: R C uma função de classe L^1(R) tal que integral-infty^infty f(x) d x=0. Mostre que
F(integral-infty^x f(t) d t)(xi)=1i xi F(f)(xi)

Passo 1

O enunciado define uma função f:RtoC de classe L^1(R) com
integral-infty^inftyf(x),dx=0
e pede para mostrar que, se definirmos
F(x)=integral-infty^xf(t),dt,
então
F(F)(xi) =1ixi,F(f)(xi)
O conteúdo envolve propriedades da Transformada de Fourier e integração por partes.

Passo 2

Definimos
F(x)=integral-infty^xf(t),dt
Como fin L^1(R), F é bem definida e diferenciável, com
F'(x)=f(x)
Além disso, pela hipótese
integral-infty^inftyf(t),dt=0,
segue que
limxto-inftyF(x)=0, limxtoinftyF(x)=0

Passo 3

Escrevemos a transformada de Fourier de F:
F(F)(xi) =integral-infty^inftyF(x),e^-ixi x,dx
Para evaluá-la, aplicamos integração por partes com
u=F(x), dv=e^-ixi x,dx

Passo 4

Então
du=F'(x),dx=f(x),dx, v=integral e^-ixi x,dx =-1ixi,e^-ixi x
Logo, por integração por partes,
integral-infty^inftyF(x)e^-ixi x,dx = [F(x),l(-tfrac1ixie^-ixi xr)]-infty^infty + 1ixiintegral-infty^inftyf(x)e^-ixi x,dx

Passo 5

Como F(pminfty)=0, o termo de contorno se anula, e portanto
F(F)(xi) =1ixiintegral-infty^inftyf(x)e^-ixi x,dx =1ixi,F(f)(xi)

Resposta

Fl(!!integral-infty^xf(t),dtr)(xi) =1ixi,F(f)(xi)

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