Exercício 11. (D. 3.5, ex.3.4) Seja
uma função de classe
tal que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define uma função
de classe
com
e pede para mostrar que, se definirmos
então
O conteúdo envolve propriedades da Transformada de Fourier e integração por partes.
Passo 2
Definimos
Como
,
é bem definida e diferenciável, com
Além disso, pela hipótese
segue que
Passo 3
Escrevemos a transformada de Fourier de
:
Para evaluá-la, aplicamos integração por partes com
Passo 4
Então
Logo, por integração por partes,
Passo 5
Como
, o termo de contorno se anula, e portanto