Exercício 1. Resolva pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-y^prime-2 y=1+sen 2 x+e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = 1 + sin(2x) + e^-x
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos então (1) achar a solução geral da homogênea, (2) montar um ansatz para a solução particular somando termos para cada parte do segundo membro, (3) determinar os coeficientes desse ansatz e (4) juntar tudo.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
yh'' - yh' - 2yh = 0
temos a equação característica
r^2 - r - 2 = 0
que dá r = 2 e r = -1. Logo
yh = C1 e^2x + C2 e^-x

Passo 3

Para a parte constante 1 do segundo membro, tomo yp1=A. Então yp1'=0 e yp1''=0, e
yp1'' - yp1' - 2yp1 = -2A stackrel!= 1 Longrightarrow A = -tfrac12

Passo 4

Para o termo sin(2x), uso
yp2 = Bcos(2x) + Csin(2x)
Derivando e substituindo, obtém-se
yp2'' - yp2' - 2yp2 =(-6B-2C)cos(2x) + (2B-6C)sin(2x) stackrel!= 0cos(2x)+1sin(2x)
Assim
-6B - 2C = 0, 2B - 6C = 1 Longrightarrow B = tfrac120, C = -tfrac320

Passo 5

Para o termo e^-x, como e^-x pertence à homogênea, multiplico por x:
yp3 = D,x,e^-x
Calculando yp3'' - yp3' - 2yp3 -3D,e^-x, que deve valer e^-x. Logo
-3D = 1 Longrightarrow D = -tfrac13

Passo 6

A solução particular é
yp = -tfrac12 + tfrac120cos(2x) - tfrac320sin(2x) - tfrac13,x,e^-x
Somando com yh, a solução geral fica
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x - tfrac12 + tfrac120cos(2x) - tfrac320sin(2x) - tfrac13,x,e^-x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x - tfrac12 + tfrac120cos(2x) - tfrac320sin(2x) - tfrac13,x,e^-x

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