Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Aqui vamos precisar de dois ingredientes clássicos:
Aqui vamos precisar de dois ingredientes clássicos:
- Resolver a parte homogênea associada para encontrar
. - Escolher um palpite para a solução particular
compatível com o termo não homogêneo , e então determinar os coeficientes indeterminados.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
O polinômio característico é
Calculando o discriminante:
logo há raiz dupla
Assim, a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em
. O “palpite” padrão é
onde
e
são constantes a determinar. Como
não aparece nesse palpite, não precisamos multiplicar por potências de
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Esse resultado deve ser igual a
. Portanto, igualamos coeficientes:
Para
:
Para a parte constante:
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da parte homogênea com a particular: