Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-10 y^prime+25 y=3 x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y'' - 10y' + 25y = 3x + 3
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Aqui vamos precisar de dois ingredientes clássicos:
  1. Resolver a parte homogênea associada para encontrar yh.
  2. Escolher um palpite para a solução particular yp compatível com o termo não homogêneo 3x+3, e então determinar os coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' - 10y' + 25y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 10r + 25 = 0
Calculando o discriminante:
De<a = (-10)^2 - 4cdot1cdot25 = 100 - 100 = 0,
logo há raiz dupla
r = 102 = 5
Assim, a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = l(C1 + C2,xr)e^5x

Passo 3

Para a parte particular, o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em x. O “palpite” padrão é
yp(x) = A x + B,
onde A e B são constantes a determinar. Como e^5x não aparece nesse palpite, não precisamos multiplicar por potências de x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = A, yp''(x) = 0
Substituindo na equação original:
y'' - 10y' + 25y = 0 - 10A + 25(Ax + B) = 25A,x + (25B - 10A)
Esse resultado deve ser igual a 3x + 3. Portanto, igualamos coeficientes:
Para x:
25A = 3 Longrightarrow A = 325
Para a parte constante:
25B - 10A = 3 Longrightarrow 25B - 10cdot325 = 3 Longrightarrow 25B - 3025 = 3
25B = 3 + 3025 = 155 + 65 = 215 Longrightarrow B = 215cdot25 = 21125

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = l(C1 + C2,xr)e^5x + 325,x + 21125

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^5x + 325,x + 21125

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