Exercício 1. Resolva pelo método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois buscar uma solução particular para cada termo da parte direita.
Passo 2
Para a homogênea associada
escrevemos a equação característica
As raízes são
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Buscamos uma solução particular
para o termo
. Como
não é raiz da característica, fazemos o ansatz
Então
e substituindo em
obtemos
de onde
e
Portanto
Passo 4
Para o termo
, como
é raiz simples, o ansatz padrão
precisa ser multiplicado por
. Logo fazemos
Seja
. Então
Substituindo em
resulta
Cancelando
e usando
, temos
Comparando coeficientes de
e de termo constante:
Portanto
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com ambas particulares: