Exercício 1. Resolva pelo método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 x-3 x e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 3e^2x - 3x e^-x
pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois buscar uma solução particular para cada termo da parte direita.

Passo 2

Para a homogênea associada
y'' - 2y' - 3y = 0
escrevemos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
As raízes são
r = 3, r = -1
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Buscamos uma solução particular yp1 para o termo 3e^2x. Como 2 não é raiz da característica, fazemos o ansatz
yp1 = A e^2x
Então
y'p1 = 2A e^2x, y''p1 = 4A e^2x
e substituindo em y''-2y'-3y = 3e^2x obtemos
(4A -2cdot2A -3A)e^2x = -3A e^2x = 3e^2x
de onde -3A = 3 e
A = -1
Portanto
yp1 = -e^2x

Passo 4

Para o termo -3x e^-x, como r=-1 é raiz simples, o ansatz padrão (Bx + C)e^-x precisa ser multiplicado por x. Logo fazemos
yp2 = (Bx^2 + Cx)e^-x
Seja P(x)=Bx^2+Cx. Então
yp2' = [P'(x) - P(x)]e^-x, yp2'' = [P''(x) - 2P'(x) + P(x)]e^-x
Substituindo em y'' -2y' -3y = -3x e^-x resulta
[P'' -2P' +P -2(P'-P) -3P]e^-x = (P'' -4P')e^-x = -3x e^-x
Cancelando e^-x e usando P'=2Bx+C,;P''=2B, temos
2B -4(2Bx + C) = -8Bx + 2B -4C = -3x
Comparando coeficientes de x e de termo constante:
-8B = -3 ;Rightarrow; B = tfrac38, 2B -4C = 0 ;Rightarrow; C = tfracB2 = tfrac316
Portanto
yp2 = l(tfrac38x^2 + tfrac316xr)e^-x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com ambas particulares:
y = yh + yp1 + yp2 = C1 e^3x + C2 e^-x ;-; e^2x ;+;l(tfrac38x^2 + tfrac316xr)e^-x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x - e^2x + l(tfrac38x^2 + tfrac316xr)e^-x

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