1.6C Uma função f: R R satisfaz a: f(x y)=f(x)+f(y), forall x, y. Prove que f(a^n)=n f(a).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função
f:RtoR tal que
f(xy)=f(x)+f(y),forall,x,yinR
Queremos mostrar que, para um número fixo a e todo inteiro n, vale
fl(a^nr)=n,f(a)
Vamos usar duas ideias clássicas: descobrir f(1) e depois fazer uma prova por indução para n>=1, estendendo depois para inteiros negativos.

Passo 2

Calculamos f(1) usando 1cdot1=1. Como
f(1)=f(1cdot1)=f(1)+f(1)=2,f(1),
segue que
f(1)=0

Passo 3

Prova por indução em n>=1:
Base ;n=1:
fl(a^1r)=f(a)=1cdot f(a),
ok.
Passo indutivo: suponha que para algum n>=1 tenhamos
fl(a^nr)=n,f(a)
Então, usando a condição funcional com x=a^n e y=a,
fl(a^n+1r)=fl(a^ncdot ar)=fl(a^nr)+f(a) =n,f(a)+f(a)=(n+1),f(a)
Isso fecha a indução para todos os ninN.

Passo 4

Tratamos agora n=0 e n<0:
  • Como a^0=1, temos
    fl(a^0r)=f(1)=0=0cdot f(a)
  • Para n=-1, use a^-1cdot a=1:
    f(1)=fl(a^-1cdot ar)=f(a^-1)+f(a)=0 Longrightarrow f(a^-1)=-,f(a)
    Para um inteiro negativo geral n=-m com m>0, escrevemos
    fl(a^nr)=fl((a^-1)^mr) =m,f(a^-1)=ml(-f(a)r)=-m,f(a)=n,f(a)

Resposta

Para todo ninZ vale
boxed,fl(a^nr)=n,f(a),

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