1.6C Uma função
satisfaz a:
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
tal que
Queremos mostrar que, para um número fixo
e todo inteiro
, vale
Vamos usar duas ideias clássicas: descobrir
e depois fazer uma prova por indução para
, estendendo depois para inteiros negativos.
Passo 2
Calculamos
usando
. Como
segue que
Passo 3
Prova por indução em
:
Base
:
ok.
Passo indutivo: suponha que para algum
tenhamos
Então, usando a condição funcional com
e
,
Isso fecha a indução para todos os
.
Passo 4
Tratamos agora
e
:
-
Como
, temos -
Para
, use : Para um inteiro negativo geralcom , escrevemos
Resposta
Para todo
vale