Exercício 14 (K.11.3 Ex:1 e 2)
Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nem pares, nem ímpares:
.
Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nem pares, nem ímpares:
Passo 1
O enunciado pede para cada função determinar se ela é par (isto é, se vale
para todo
em seu domínio simétrico), ímpar (isto é, se vale
) ou nem par nem ímpar. Vamos usar as propriedades:
– A soma de duas funções pares é par; a soma de duas ímpares é ímpar; a soma de uma par com uma ímpar é nem.
– O produto de duas pares é par; de duas ímpares é par; de par com ímpar é ímpar.
– Se o domínio não é simétrico em torno de zero, a função não pode ser par nem ímpar.
– A soma de duas funções pares é par; a soma de duas ímpares é ímpar; a soma de uma par com uma ímpar é nem.
– O produto de duas pares é par; de duas ímpares é par; de par com ímpar é ímpar.
– Se o domínio não é simétrico em torno de zero, a função não pode ser par nem ímpar.
Passo 2
Funções envolvendo valor absoluto:
– Para temos
, logo é par.
– Para vale
, logo é par.
– Em o expoente
é par e o exponencial de uma função par continua par, então
é par.
– Para
– Para
– Em
Passo 3
Produtos de funções polinomiais e hiperbólicas ou trigonométricas:
– Em ,
é par e
é ímpar, daí o produto é ímpar.
– Em ,
é par e
é ímpar, daí o produto é ímpar.
– Em ,
e
são ímpares, daí o produto é par.
– Em , o numerador
é ímpar e o denominador
é par, daí o quociente é ímpar.
– Em
– Em
– Em
– Em
Passo 4
Funções trigonométricas de composições simples:
– Para temos
, logo é par.
– Para vale
, logo é par.
– Em temos
, logo é ímpar.
– Para
– Para
– Em
Passo 5
Soma de termos polinomiais:
– Em ,
é ímpar e
é par, então a soma não satisfaz nem
nem
. Logo é nem par nem ímpar.
– Em
Passo 6
Exponenciais e logaritmos:
– Em ,
e
, logo nem par nem ímpar.
– Em ,
não coincide com
nem com
, logo nem par nem ímpar.
– Em o domínio é
, não simétrico, então não se enquadra como par nem como ímpar.
– Em
– Em
– Em
Resposta
Função | Classificação | ||
---|---|---|---|
( | x | ) | par |
|
ímpar | ||
|
nem par nem ímpar | ||
(e^{- | x | }) | par |
|
nem par nem ímpar | ||
|
ímpar | ||
|
par | ||
|
par | ||
|
par | ||
( | x | ^{3}) | par |
|
nem par nem ímpar | ||
|
nem par nem ímpar | ||
|
ímpar | ||
|
ímpar |