Exercício 14 (K.11.3 Ex:1 e 2)
Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nem pares, nem ímpares:
|x|, x^2 sen(n x), x+x^2, e^-|x|, ln (x), x cosh (x), sen(x^2), sen^2(x), x senh(x),|x|^3, e^pi x, x e^x, tan (2 x), x1+x^2.

Passo 1

O enunciado pede para cada função determinar se ela é par (isto é, se vale ,f(-x)=f(x), para todo x em seu domínio simétrico), ímpar (isto é, se vale ,f(-x)=-f(x),) ou nem par nem ímpar. Vamos usar as propriedades:
– A soma de duas funções pares é par; a soma de duas ímpares é ímpar; a soma de uma par com uma ímpar é nem.
– O produto de duas pares é par; de duas ímpares é par; de par com ímpar é ímpar.
– Se o domínio não é simétrico em torno de zero, a função não pode ser par nem ímpar.

Passo 2

Funções envolvendo valor absoluto:
– Para |x| temos |-x|=|x|, logo é par.
– Para |x|^3 vale |-x|^3 = |x|^3, logo é par.
– Em e^-|x| o expoente -|x| é par e o exponencial de uma função par continua par, então e^-|x| é par.

Passo 3

Produtos de funções polinomiais e hiperbólicas ou trigonométricas:
– Em x^2sin(nx), x^2 é par e sin(nx) é ímpar, daí o produto é ímpar.
– Em xcosh(x), cosh(x) é par e x é ímpar, daí o produto é ímpar.
– Em xsinh(x), sinh(x) e x são ímpares, daí o produto é par.
– Em dfracx1+x^2, o numerador x é ímpar e o denominador 1+x^2 é par, daí o quociente é ímpar.

Passo 4

Funções trigonométricas de composições simples:
– Para sin(x^2) temos sin((-x)^2)=sin(x^2), logo é par.
– Para sin^2(x) vale sin^2(-x)=l(sin(-x)r)^2 =(-sin x)^2=sin^2(x), logo é par.
– Em tan(2x) temos tan(-2x)=-tan(2x), logo é ímpar.

Passo 5

Soma de termos polinomiais:
– Em x+x^2, x é ímpar e x^2 é par, então a soma não satisfaz nem f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x). Logo é nem par nem ímpar.

Passo 6

Exponenciais e logaritmos:
– Em e^pi x, f(-x)=e^-pi xneq f(x) e neq -f(x), logo nem par nem ímpar.
– Em x e^x, f(-x)=(-x)e^-x não coincide com f(x) nem com -f(x), logo nem par nem ímpar.
– Em ln(x) o domínio é x>0, não simétrico, então não se enquadra como par nem como ímpar.

Resposta

Função Classificação
( x ) par
ímpar
nem par nem ímpar
(e^{- x }) par
nem par nem ímpar
ímpar
par
par
par
( x ^{3}) par
nem par nem ímpar
nem par nem ímpar
ímpar
ímpar

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