Exercício: Resolva as E.D.O’s e PVI’s:
ly^prime=(1-2 x) y^2 y(0)=-16

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = (1 - 2x),y^2, y(0) = -tfrac16
O conteúdo aqui é EDO de variáveis separáveis. Vamos separar y e x, integrar e usar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma separável:
dydx = (1 - 2x),y^2 Longrightarrow dyy^2 = (1 - 2x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 = integral (1 - 2x),dx
À esquerda integral y^-2dy = -1y. À direita
integral (1 - 2x),dx = x - x^2 + C
Logo obtém-se
-1y = x - x^2 + C

Passo 4

Usamos a condição y(0) = -tfrac16. Substituindo x=0 e y=-tfrac16,
-1-tfrac16 = 6 = 0 - 0 + C Longrightarrow C = 6

Passo 5

Substituindo C em -1/y = x - x^2 + 6 e isolando y, temos
-1y = x - x^2 + 6 Longrightarrow 1y = -x + x^2 - 6 Longrightarrow y = 1,x^2 - x - 6,

Resposta

y(x) = 1,x^2 - x - 6,

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