Q 3 (3.0 ptos) Seja f(x, y)=(x-1)^2(y+1)(x-1)^4+(y+1)^2 forall(x, y) neq(1,-1). Existe o limite lim (x, y) (1,-1) f(x, y) ? Justifique a tua resposta. Sugestão: escolha dois caminhos distintos e calcule os limites, ou calcule o limite ao longo de curvas de níveis, etc.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe o limite
lim(x,y)to(1,-1) f(x,y),
onde
f(x,y)=(x-1)^2(y+1)(x-1)^4+(y+1)^2 para (x,y)neq(1,-1)
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos usar o método de caminhos: escolher duas curvas que chegam a (1,-1) e ver se os limites coincidem.

Passo 2

Para simplificar, façamos a troca de variáveis
u = x-1, v = y+1,
de modo que (x,y)to(1,-1) equivale a (u,v)to(0,0) e
f(x,y)=u^2,vu^4+v^2

Passo 3

Escolhemos primeiro o caminho v=0 (isto é, y+1=0). Substituindo em f:
f(u,0)=u^2cdot0u^4+0^2=0
Logo
lim(u,v)to(0,0)atop v=0 u^2vu^4+v^2=0

Passo 4

Agora escolhemos o caminho v=u^2. Substituindo em f:
fl(u,u^2r) =u^2,(u^2)u^4+(u^2)^2 =u^4u^4+u^4 =u^42,u^4 =12,
portanto
lim(u,v)to(0,0)atop v=u^2 u^2vu^4+v^2 =12

Passo 5

Como pelos dois caminhos obtemos limites diferentes ( 0 e tfrac12), o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(1,-1)f(x,y) não existe.

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