Exercício: Resolva as E.D.O’s e PVI’s:
y^prime-2 x y=3 x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da E.D.O. de primeira ordem
y'-2xy=3x^2
Esta é uma equação linear na forma y'+P(x)y=Q(x), com P(x)=-2x e Q(x)=3x^2. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral -2x,dxr) =exp(-x^2)

Passo 3

Multiplicando a E.D.O. por mu(x) obtemos
e^-x^2y' -2x e^-x^2y =3x^2e^-x^2
O lado esquerdo é a derivada do produto y,e^-x^2, pois
ddxl(y,e^-x^2r) =y',e^-x^2+y,(e^-x^2)' =y',e^-x^2-2x,y,e^-x^2

Passo 4

Logo a equação vira
ddxl(y,e^-x^2r) =3x^2e^-x^2
Integramos ambos os lados em x:
y,e^-x^2 =integral 3x^2e^-x^2,dx + C

Passo 5

Para expressar a integral podemos usar integração por partes ou reconhecer a função erro. Uma forma é deixar em termos de erf(x):
integral 3x^2e^-x^2,dx =-tfrac32x e^-x^2+tfrac3raizpi4,erf(x)+C1

Passo 6

Voltando a y, temos
y(x) =e^x^2l(!-tfrac32x e^-x^2+tfrac3raizpi4,erf(x)+C1r) =-tfrac32x+tfrac3raizpi4,e^x^2,erf(x)+C,e^x^2,
onde C absorve C1.

Resposta

y(x)=-32x+3raizpi4,e^x^2,erf(x)+C,e^x^2,
sendo C constante arbitrária.

Exercícios relacionados