A mola de um sistema massa-mola tem constante de $3 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece resistência (em Newtons) numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea ( $em\mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ). O sistema sofre a ação de uma força externa de $3 \cos (3 t)-$
$2 \operatorname{sen}(3 t)$ N. Se a massa parte da posição de equilíbrio e em repouso, determine:
a) a posição da massa em função do tempo;
b) a posição do estado estacionário;
c) repita os itens a) e b) se ao invés de $3 \cos (3 t)-$
$2 \operatorname{sen}(3 t) N$, a força externa fosse dada por $e^{-t}$ N;
d) Repita os itens a) e b) se ao invés de $3 \cos (3 t)$ $2 \operatorname{sen}(3 \mathrm{t}) \mathrm{N}$, a força externa fosse dada por .
Passo 1
Resumo do problema: temos um sistema massa–mola com massa ,kg, constante elástica ,N/m e amortecimento viscoso de coeficiente (força de resistência igual ao módulo da velocidade). A equação de movimento é
com condições iniciais , . Vamos resolver por superposição: solução geral , onde vem da equação homogênea e é uma particular para cada forçamento .
Passo 2
Equação homogênea
tem raízes
Logo
Passo 3
a) Forçamento
Substituindo em obtemos o sistema
cuja solução é . Assim
A solução geral fica
Impondo dá . Derivando e usando conduz a
Logo
Passo 4
b) A posição em regime permanente (após a amortecimento do transitório) é exatamente a parte particular do forçamento harmônico:
Regime permanente para F=e^-t corresponde à parte particular, que também decai:
boxedxpp(t)=tfrac14e^-t,,
e portanto à medida que ttoinfty xto0.
Passo 7
d) Para F(t)=e^-t/4cosl(tfracraiz234tr) o forçamento coincide com o modo homogêneo (mesma frequência complexa), gerando ressonância amortecida. Usa-se o ansatz
e) Em regime estacionário (ttoinfty) esta solução decai para zero, logo
boxedxpp(t)xrightarrow[ttoinfty]0
Resposta
a) x(t)=e^-t/4l(tfrac16cos(tfracraiz234t)-tfrac116raiz23sin(tfracraiz234t)r)-tfrac16cos(3t)+tfrac16sin(3t)
b) xpp(t)=-tfrac16cos(3t)+tfrac16sin(3t)=tfracraiz26cos(3t-pi/4)
c) x(t)=e^-t/4l(-tfrac14cos(tfracraiz234t)+tfrac34raiz23sin(tfracraiz234t)r)+tfrac14e^-t, xpp(t)=tfrac14e^-t
d) x(t)=tfractraiz23e^-t/4sin(tfracraiz234t), xpp(t)to0