Exercício 4. Resolva os seguintes Problemas de Valores Iniciais (PVI):
2 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+18 y=0 com y(0)=1 e y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pelas condições iniciais. As informações fornecidas são:
  • Equação diferencial: 2\,y''-12\,y'+18\,y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=2.

Passo 2

Primeiro coloque a equação em forma padrão dividindo ambos os lados por 2:
y''-6\,y'+9\,y=0.
Aqui y é a função desconhecida de x, y' é a derivada primeira e y'' a derivada segunda.

Passo 3

Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{r x}, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial. Substituindo y=e^{r x} na equação padrão obtemos a equação característica:
r^{2}-6r+9=0.

Passo 4

Resolva a equação característica. Fatorando:
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2}=0.
Portanto r=3 é uma raiz dupla (multiplicidade 2). Quando a raiz r da característica tem multiplicidade 2, a forma geral da solução é
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. Explicando intuitivamente: a presença de x no segundo termo garante duas soluções linearmente independentes associadas à mesma raiz dupla.

Passo 5

Agora calcule a derivada y'(x) para aplicar as condições iniciais. Use a regra do produto em y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x}:
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(C_{1}+C_{2}x\big)\cdot e^{3x}+\big(C_{1}+C_{2}x\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{3x}\big).
As derivadas são \dfrac{d}{dx}(C_{1}+C_{2}x)=C_{2} e \dfrac{d}{dx}(e^{3x})=3e^{3x}. Logo
y'(x)=C_{2}e^{3x}+3\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}.
Colocando em forma combinada:
y'(x)=\big(3C_{1}+C_{2}+3C_{2}x\big)e^{3x}.

Passo 6

Aplique a condição y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x} obtemos
y(0)=C_{1}\cdot 1 = C_{1}=1.

Passo 7

Aplique a condição y'(0)=2. Substituindo x=0 em y'(x)=\big(3C_{1}+C_{2}+3C_{2}x\big)e^{3x} obtemos
y'(0)=3C_{1}+C_{2}=2.
Como C_{1}=1, temos 3\cdot 1 + C_{2}=2, isto é
C_{2}=2-3=-1.
Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=-1 na solução geral obtém-se a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x)=(1-x)e^{3x}

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