Exercício 4. Resolva os seguintes Problemas de Valores Iniciais (PVI):
com
e
.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pelas condições iniciais. As informações fornecidas são:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Primeiro coloque a equação em forma padrão dividindo ambos os lados por
:
Aqui
é a função desconhecida de
,
é a derivada primeira e
a derivada segunda.
Passo 3
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial. Substituindo
na equação padrão obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolva a equação característica. Fatorando:
Portanto
é uma raiz dupla (multiplicidade
). Quando a raiz
da característica tem multiplicidade
, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. Explicando intuitivamente: a presença de
no segundo termo garante duas soluções linearmente independentes associadas à mesma raiz dupla.
Passo 5
Agora calcule a derivada
para aplicar as condições iniciais. Use a regra do produto em
:
As derivadas são
e
. Logo
Colocando em forma combinada:
Passo 6
Aplique a condição
. Substituindo
em
obtemos
Passo 7
Aplique a condição
. Substituindo
em
obtemos
Como
, temos
, isto é
Substituindo
e
na solução geral obtém-se a solução particular que satisfaz as condições iniciais.