Exercício 1. Considere a equação diferencial linear de segunda ordem y^{\prime \prime}+\lambda y=0, onde \lambda é uma constante real. Determine a solução geral da equação, tratando separadamente os casos em que \lambda>0, \lambda=0 e \lambda<0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + \lambda y = 0,
onde \lambda é uma constante real. O que o exercício pede é: determinar a solução geral da equação, tratando separadamente os casos \lambda>0, \lambda=0 e \lambda<0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de segunda ordem e linear com coeficientes constantes.
  • A constante \lambda é real.
  • Devemos fornecer a solução geral em cada um dos três casos: \lambda>0, \lambda=0 e \lambda<0.

Passo 2

Escolha do método (motivo e derivação do polinômio característico).
Explicação do método: para equações lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
porque derivadas de e^{r x} são múltiplas de e^{r x} e isso transforma a EDO numa equação algébrica para r. Substituindo y=e^{r x} em \,y''+\lambda y=0 obtemos
r^2 e^{r x} + \lambda e^{r x}=0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e ficar com o polinômio característico
r^2 + \lambda = 0.
As raízes r desse polinômio determinam a forma geral das soluções; agora vamos analisar as três situações possíveis para \lambda.

Passo 3

Caso \lambda>0.
Defina \omega = \sqrt{\lambda}>0. As raízes do polinômio característico são
r = \pm i\omega.
Essas raízes são complexas conjugadas. A teoria (ou Euler) diz que as combinações lineares reais das soluções e^{i\omega x} e e^{-i\omega x} podem ser reescritas em termos de funções reais \cos e \sin usando a fórmula de Euler:
e^{i\omega x}=\cos(\omega x)+i\sin(\omega x),\qquad e^{-i\omega x}=\cos(\omega x)-i\sin(\omega x).
Portanto, a solução geral real (com constantes reais C_1,C_2) é
y(x)=C_1\cos(\omega x)+C_2\sin(\omega x).
Comentário didático: por que esta forma é geral? Porque e^{i\omega x} e e^{-i\omega x} geram um espaço de soluções de dimensão 2; as combinações reais fornecem duas soluções reais independentes \cos(\omega x) e \sin(\omega x).

Passo 4

Caso \lambda=0.
Aqui o polinômio característico fica
r^2=0,
ou seja, r=0 é uma raiz dupla. Quando existe uma raiz dupla r de multiplicidade 2 para equações lineares com coeficientes constantes, as duas soluções independentes são e^{r x} e x e^{r x}. Aplicando com r=0 obtemos as soluções 1 e x. Logo a solução geral é
y(x)=C_1 + C_2 x.
Explicação didática do x: o fator x aparece para garantir independência linear entre as duas soluções quando a raiz é repetida; intuitivamente, é a versão que “pega” o segundo grau de liberdade que falta.

Passo 5

Caso \lambda<0.
Escreva \lambda = -\mu com \mu>0. O polinômio característico é
r^2 - \mu = 0,
cujas raízes são reais e distintas:
r = \pm \sqrt{\mu}.
Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_1 e^{\sqrt{\mu}\,x} + C_2 e^{-\sqrt{\mu}\,x}.
Observação: alternativamente pode-se escrever a solução em termos de hiperbólicas. Como \operatorname{cosh}(t) = \tfrac{e^{t}+e^{-t}}{2} e \operatorname{sinh}(t)=\tfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}, também se pode expressar
y(x)=A\operatorname{cosh}(\sqrt{\mu}\,x)+B\operatorname{sinh}(\sqrt{\mu}\,x),
com constantes A,B apropriadas — ambas as formas são equivalentes.

Passo 6

Resumo final e checagem rápida.
  • Método usado: tentativa exponencial y=e^{r x} que leva ao polinômio característico r^2+\lambda=0.
  • Dependendo do sinal de \lambda obtemos raízes complexas conjugadas (movimento oscilatório), raiz dupla zero (solução afim) ou raízes reais diferentes (crescimento/decrescimento exponencial).
  • As constantes C_1,C_2 são arbitrárias (reais) e a combinação linear das duas soluções independentes forma a solução geral de segunda ordem.

Resposta

Para \lambda>0: y(x)=C_{1}\cos\!\big(\sqrt{\lambda}\,x\big)+C_{2}\sin\!\big(\sqrt{\lambda}\,x\big)
Para \lambda=0: y(x)=C_{1}+C_{2}x
Para \lambda<0: y(x)=C_{1}e^{\sqrt{-\lambda}\,x}+C_{2}e^{-\sqrt{-\lambda}\,x}

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