Exercício 1. Considere a equação diferencial linear de segunda ordem
, onde
é uma constante real. Determine a solução geral da equação, tratando separadamente os casos em que
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é uma constante real. O que o exercício pede é: determinar a solução geral da equação, tratando separadamente os casos
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é de segunda ordem e linear com coeficientes constantes.
- A constante
é real. - Devemos fornecer a solução geral em cada um dos três casos:
, e .
Passo 2
Escolha do método (motivo e derivação do polinômio característico).
Explicação do método: para equações lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução do tipo exponencial
porque derivadas de
são múltiplas de
e isso transforma a EDO numa equação algébrica para
. Substituindo
em
obtemos
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e ficar com o polinômio característico
As raízes
desse polinômio determinam a forma geral das soluções; agora vamos analisar as três situações possíveis para
.
Passo 3
Caso
.
Defina
. As raízes do polinômio característico são
Essas raízes são complexas conjugadas. A teoria (ou Euler) diz que as combinações lineares reais das soluções
e
podem ser reescritas em termos de funções reais
e
usando a fórmula de Euler:
Portanto, a solução geral real (com constantes reais
) é
Comentário didático: por que esta forma é geral? Porque
e
geram um espaço de soluções de dimensão 2; as combinações reais fornecem duas soluções reais independentes
e
.
Passo 4
Caso
.
Aqui o polinômio característico fica
ou seja,
é uma raiz dupla. Quando existe uma raiz dupla
de multiplicidade 2 para equações lineares com coeficientes constantes, as duas soluções independentes são
e
. Aplicando com
obtemos as soluções
e
. Logo a solução geral é
Explicação didática do
: o fator
aparece para garantir independência linear entre as duas soluções quando a raiz é repetida; intuitivamente, é a versão que “pega” o segundo grau de liberdade que falta.
Passo 5
Caso
.
Escreva
com
. O polinômio característico é
cujas raízes são reais e distintas:
Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes:
Observação: alternativamente pode-se escrever a solução em termos de hiperbólicas. Como
e
, também se pode expressar
com constantes
apropriadas — ambas as formas são equivalentes.
Passo 6
Resumo final e checagem rápida.
- Método usado: tentativa exponencial
que leva ao polinômio característico . - Dependendo do sinal de
obtemos raízes complexas conjugadas (movimento oscilatório), raiz dupla zero (solução afim) ou raízes reais diferentes (crescimento/decrescimento exponencial). - As constantes
são arbitrárias (reais) e a combinação linear das duas soluções independentes forma a solução geral de segunda ordem.
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: