Exercício 6 Calcule a transformada de Laplace da função
f(t)=l sent para 0 <= t<pi 0, para, t >= pi

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função que vale sin t para 0 <= t < pi e zero para t>=pi. Lembra que a definição é
Lf(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt

Passo 2

Como f(t)=sin t em [0,pi) e f(t)=0 em [pi,infty), a integral fica
Lf(s)=integral0^pie^-stsin t,dt

Passo 3

Usamos a fórmula geral
integral e^atsin(bt),dt=e^ata^2+b^2l(asin(bt)-bcos(bt)r),
com a=-s e b=1. Assim obtemos
integral e^-stsin t,dt=-e^-st(ssin t+cos t)s^2+1

Passo 4

Avalia de t=0 a t=pi:
em t=pi
-e^-spi(ssinpi+cospi)s^2+1 =e^-spis^2+1,
em t=0
-e^0(ssin0+cos0)s^2+1 =-1s^2+1
Subtraindo o valor em 0 do valor em pi, vem
integral0^pie^-stsin t,dt =e^-spis^2+1-l(-1s^2+1r) =1+e^-spis^2+1

Resposta

Lf(s)=1+e^-spis^2+1

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