Exercício 1 - Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
2 x y^{\prime}+2 y=x y^{3}

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial (sem condições iniciais):
2x\,y'(x)+2y(x)=x\,y(x)^{3}.
Informações dadas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (não linear) envolvendo y' e potências de y.
  • Não há condições iniciais; queremos a família geral de soluções (constante de integração arbitrária).
  • Note que a equação envolve divisão por x se quisermos isolá-la, então será preciso considerar que x\neq0 ao manipular termos dividindo por x. Também existe a possibilidade de soluções constantes (por exemplo y\equiv0) que devem ser verificadas.

Passo 2

Colocar a equação numa forma conveniente (isolar y'). Divido ambos os lados por 2x (assumindo momentaneamente x\neq0):
y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{1}{2}\,y^{3}.
Esta é a forma que vamos usar para o método a seguir.

Passo 3

Idéia do método (explicação didática):
  • Existe uma técnica para equações da forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
onde n\neq0,1. A técnica é a substituição
u = y^{\,1-n}.
  • Por que isso funciona? Porque diferenciando u=y^{1-n} obtemos
u'=(1-n)\,y^{-n}\,y',
e isso permite transformar a equação original, que é não linear em y, numa equação linear em u.
  • No nosso caso n=3. Portanto escolhemos
u = y^{\,1-3}=y^{-2}.
Calculando a derivada:
u' = -2\,y^{-3}\,y'.
Guarde essa relação para substituir na equação.

Passo 4

Transformar a equação original usando u.
Parto da forma obtida no Passo 2:
y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{1}{2}\,y^{3}.
Multiplico ambos os termos por y^{-3} para aproveitar y^{-3}y' que aparece em u':
y^{-3}y' + \frac{1}{x}\,y^{-2} = \frac{1}{2}.
Agora uso u' = -2\,y^{-3}y', ou seja y^{-3}y' = -\dfrac{u'}{2}. Substituindo:
-\frac{u'}{2} + \frac{1}{x}\,u = \frac{1}{2}.
Multiplico tudo por 2 para simplificar:
- u' + \frac{2}{x}\,u = 1.
Reescrevo na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em u:
u' - \frac{2}{x}\,u = -1.

Passo 5

Resolver a equação linear em u:
u' - \frac{2}{x}\,u = -1.
  • Calculo o fator integrante \mu(x)=e^{\int -\tfrac{2}{x}\,dx}=e^{-2\ln|x|}=x^{-2} (para x\neq0).
  • Multiplico a equação por \mu(x)=x^{-2}. O lado esquerdo fica derivada do produto:
\bigl(x^{-2}u\bigr)' = -x^{-2}.
  • Integro ambos os lados em relação a x:
x^{-2}u = \int -x^{-2}\,dx = x^{-1} + C,
onde C é constante arbitrária de integração.
  • Isolando u:
u = x^{2}\bigl(x^{-1}+C\bigr)=x + C x^{2}.

Passo 6

Voltar à variável original y. Lembrando que u=y^{-2}, temos
y^{-2} = x + C x^{2}.
Invertendo:
y^{2} = \frac{1}{x + C x^{2}} = \frac{1}{x(1+ C x)}.
Tomando raiz quadrada (lembrando do sinal ±):
y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{x(1+ C x)}}.
Observações sobre domínio e soluções especiais:
  • As manipulações envolveram divisão por x, então as soluções acima valem em intervalos onde x\neq0 e onde x(1+Cx)>0 (para obter y real). Em contextos complexos, essa restrição muda.
  • Há também a solução trivial y\equiv0. Verificação rápida: substituindo y\equiv0 na equação original obtem-se 0+0=0, logo é solução em todo domínio (incluindo x=0).
  • Em problemas de valor inicial deve-se escolher a constante C e o ramo de sinal compatíveis com a condição e o domínio.

Resposta

y(x)=\pm\dfrac{1}{\sqrt{x(1+ C x)}},\\ C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 0

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