Exercício 1 - Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial (sem condições iniciais):
Informações dadas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (não linear) envolvendo
e potências de . - Não há condições iniciais; queremos a família geral de soluções (constante de integração arbitrária).
- Note que a equação envolve divisão por
se quisermos isolá-la, então será preciso considerar que ao manipular termos dividindo por . Também existe a possibilidade de soluções constantes (por exemplo ) que devem ser verificadas.
Passo 2
Colocar a equação numa forma conveniente (isolar
). Divido ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
):
Esta é a forma que vamos usar para o método a seguir.
Passo 3
Idéia do método (explicação didática):
- Existe uma técnica para equações da forma
onde
. A técnica é a substituição
- Por que isso funciona? Porque diferenciando
obtemos
e isso permite transformar a equação original, que é não linear em
, numa equação linear em
.
- No nosso caso
. Portanto escolhemos
Calculando a derivada:
Guarde essa relação para substituir na equação.
Passo 4
Transformar a equação original usando
.
Parto da forma obtida no Passo 2:
Parto da forma obtida no Passo 2:
Multiplico ambos os termos por
para aproveitar
que aparece em
:
Agora uso
, ou seja
. Substituindo:
Multiplico tudo por
para simplificar:
Reescrevo na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em
:
Passo 5
Resolver a equação linear em
:
- Calculo o fator integrante
(para ). - Multiplico a equação por
. O lado esquerdo fica derivada do produto:
- Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária de integração.
- Isolando
:
Passo 6
Voltar à variável original
. Lembrando que
, temos
Invertendo:
Tomando raiz quadrada (lembrando do sinal ±):
Observações sobre domínio e soluções especiais:
- As manipulações envolveram divisão por
, então as soluções acima valem em intervalos onde e onde (para obter real). Em contextos complexos, essa restrição muda. - Há também a solução trivial
. Verificação rápida: substituindo na equação original obtem-se , logo é solução em todo domínio (incluindo ). - Em problemas de valor inicial deve-se escolher a constante
e o ramo de sinal compatíveis com a condição e o domínio.