Exercício 1 - Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la (ou seja: encontrar a família de soluções gerais).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - O lado direito é
, que pode ser reescrito tornando explícita a dependência em como denominador fatorado.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão para ver se aparece alguma estrutura útil. Reescrevendo o denominador:
Portanto a equação fica
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma forma mais simples envolvendo o produto
:
Explicação didática: às vezes aparece o produto
que é metade da derivada de
. Isso sugere a substituição
, pois então poderemos transformar a equação numa forma mais tratável sem misturar derivadas e potências de
.
Passo 3
Fazer a substituição
. Calcule a derivada de
:
Isolando
temos
. Substituindo na equação obtida no passo anterior:
Multiplicando por
dá
Comentário didático: agora a equação envolve
e
e não tem mais raízes nem potências fracionárias em
. Ainda não é linear em
, mas já ficou mais simples.
Passo 4
Para simplificar ainda mais, note a expressão
. Definimos uma nova variável
Então
Substitua
(pois
). Assim:
Agora a equação para
é separável. Reescrevendo e separando variáveis:
Antes de integrar, decomponha a fração para facilitar:
Portanto a integral do lado esquerdo é simples. Integre ambos os lados:
Calcule as integrais explicitamente:
onde
é a constante de integração. Explicação:
e
; do lado direito
.
Passo 5
Volte às variáveis originais. Lembre que
e
, então
. Substituindo em
obtemos:
Cancelando
dos dois lados resulta
Observação sobre o logaritmo: para todo
tem-se
, então o argumento do logaritmo é sempre positivo e não é necessário usar o valor absoluto. Esta relação define a solução geral da equação de forma implícita.
Resposta
onde
é constante arbitrária.