Exercício 1 - Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
y^{\prime}=\frac{x}{x^{2} y+y^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{x}{x^{2}y+y^{3}}
e pede para resolvê‑la (ou seja: encontrar a família de soluções gerais).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • O lado direito é \dfrac{x}{x^{2}y+y^{3}}, que pode ser reescrito tornando explícita a dependência em y como denominador fatorado.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão para ver se aparece alguma estrutura útil. Reescrevendo o denominador:
x^{2}y+y^{3}=y(x^{2}+y^{2}).
Portanto a equação fica
y'=\frac{x}{y(x^{2}+y^{2})}.
Multiplicando ambos os lados por y obtemos uma forma mais simples envolvendo o produto y\,y':
y\,y'=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Explicação didática: às vezes aparece o produto y\,y' que é metade da derivada de y^{2}. Isso sugere a substituição u=y^{2}, pois então poderemos transformar a equação numa forma mais tratável sem misturar derivadas e potências de y.

Passo 3

Fazer a substituição u=y^{2}. Calcule a derivada de u:
\frac{du}{dx}=2y\,\frac{dy}{dx}=2y\,y'.
Isolando y\,y' temos y\,y'=\dfrac{1}{2}\dfrac{du}{dx}. Substituindo na equação obtida no passo anterior:
\frac{1}{2}\frac{du}{dx}=\frac{x}{x^{2}+u}.
Multiplicando por 2
\frac{du}{dx}=\frac{2x}{x^{2}+u}.
Comentário didático: agora a equação envolve u e x e não tem mais raízes nem potências fracionárias em y. Ainda não é linear em u, mas já ficou mais simples.

Passo 4

Para simplificar ainda mais, note a expressão x^{2}+u. Definimos uma nova variável
v=x^{2}+u.
Então
\frac{dv}{dx}=2x+\frac{du}{dx}.
Substitua \dfrac{du}{dx}=\dfrac{2x}{v} (pois \dfrac{du}{dx}=\dfrac{2x}{x^{2}+u}=\dfrac{2x}{v}). Assim:
\frac{dv}{dx}=2x+\frac{2x}{v}=2x\left(1+\frac{1}{v}\right)=2x\frac{v+1}{v}.
Agora a equação para v é separável. Reescrevendo e separando variáveis:
\frac{v}{v+1}\,dv=2x\,dx.
Antes de integrar, decomponha a fração para facilitar:
\frac{v}{v+1}=1-\frac{1}{v+1}.
Portanto a integral do lado esquerdo é simples. Integre ambos os lados:
\int\left(1-\frac{1}{v+1}\right)dv=\int 2x\,dx.
Calcule as integrais explicitamente:
v-\ln|v+1|=x^{2}+C,
onde C é a constante de integração. Explicação: \int 1\,dv=v e \int \dfrac{1}{v+1}\,dv=\ln|v+1|; do lado direito \int 2x\,dx=x^{2}.

Passo 5

Volte às variáveis originais. Lembre que v=x^{2}+u e u=y^{2}, então v=x^{2}+y^{2}. Substituindo em v-\ln|v+1|=x^{2}+C obtemos:
x^{2}+y^{2}-\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)=x^{2}+C.
Cancelando x^{2} dos dois lados resulta
y^{2}-\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)=C.
Observação sobre o logaritmo: para todo x,y\in\mathbb{R} tem-se x^{2}+y^{2}+1\ge 1>0, então o argumento do logaritmo é sempre positivo e não é necessário usar o valor absoluto. Esta relação define a solução geral da equação de forma implícita.

Resposta

y^{2}-\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)=C,
onde C é constante arbitrária.

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