Exercício 0.4 Resolva as seguintes equações exponenciais:
(\sqrt{3})^{x}=\sqrt[3]{81}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
(\sqrt{3})^{x}=\sqrt[3]{81}.
Ou seja: encontrar o valor de \;x\; que satisfaz essa igualdade. Informação dada: a base do lado esquerdo é \sqrt{3} e o lado direito é a raiz cúbica de 81.

Passo 2

Transformar radicais em potências com expoentes fracionários — isso facilita muito. Regra: para todo número positivo a e inteiro n\ge1,
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Aplicando aqui:
\sqrt{3}=3^{1/2}
e
\sqrt[3]{81}=81^{1/3}.

Passo 3

Reescrever 81 como potência de 3. Sabemos que 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81. Logo
81=3^4.

Passo 4

Substituir na equação usando as expressões obtidas. Temos
(3^{1/2})^{x}=(3^{4})^{1/3}.
Agora usar a regra “potência de potência”: para quaisquer a, m e n,
(a^{m})^{n}=a^{mn}.
Aplicando no lado esquerdo e no direito:
(3^{1/2})^{x}=3^{(1/2)\cdot x}=3^{x/2},
(3^{4})^{1/3}=3^{4\cdot(1/3)}=3^{4/3}.
Portanto a equação fica
3^{x/2}=3^{4/3}.

Passo 5

Quando temos uma igualdade a^{u}=a^{v} com a>0 e a\neq1, podemos igualar os expoentes: u=v. Aqui a=3>0 e 3\neq1, então
\frac{x}{2}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Resolver a equação linear para x. Multiplicando ambos os lados por 2,
x=2\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar mais seguro): substituir x=\frac{8}{3} no lado esquerdo.
(\sqrt{3})^{8/3}=(3^{1/2})^{8/3}=3^{(1/2)\cdot(8/3)}=3^{4/3},
e isso é exatamente o lado direito, pois \sqrt[3]{81}=3^{4/3}. A igualdade confirma a solução.

Resposta

x=\dfrac{8}{3}

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