Exercício 1. Resolva as seguintes equações lineares:
(d) y^{\prime}+y=2 x e^{-x}+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = 2x e^{-x} + x^{2}.
O método que vamos usar é o do fator integrante: calculamos um fator que transforme o lado esquerdo numa derivada exata, depois integramos ambos os lados.

Passo 2

A forma padrão é y' + P(x)\,y = Q(x) com P(x)=1. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.

Passo 3

Multiplicando toda a equação por \mu(x)=e^{x}, obtemos
e^{x}y' + e^{x}y = (e^{x}y)' = \bigl(2x e^{-x} + x^{2}\bigr)e^{x} = 2x + x^{2}e^{x}.
Logo
(e^{x}y)' = 2x + x^{2}e^{x}.

Passo 4

Integramos em x:
e^{x}y = \int \bigl(2x + x^{2}e^{x}\bigr)\,dx = \int 2x\,dx + \int x^{2}e^{x}\,dx.
A primeira integral é \int 2x\,dx = x^{2}. Para a segunda, use partes com u=x^{2}, dv=e^{x}dx:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int 2x e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \bigl(2x e^{x} - 2e^{x}\bigr) = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr).
Portanto,
e^{x}y = x^{2} + e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^{x}:
y(x) = e^{-x}x^{2} + \bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C e^{-x} = x^{2} - 2x + 2 + e^{-x}\bigl(x^{2} + C\bigr).

Resposta

y(x) = x^{2} - 2x + 2 + e^{-x}\bigl(x^{2} + C\bigr),
com C constante arbitrária.

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