Exercício 1. Resolva as seguintes equações lineares:
(e) y^{\prime}+y \cot x=2 x \csc x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeiro ordem
y' + y\cot x = 2x\csc x
O conteúdo aqui é resolução de equação linear na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x)=\cot x e q(x)=2x\csc x.

Passo 2

Para usar o método do fator integrante, identificamos
p(x)=\cot x \quad\text{e}\quad q(x)=2x\csc x.
A equação padrão é
y' + p(x)\,y = q(x).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\biggl(\int p(x)\,dx\biggr) = \exp\biggl(\int \cot x\,dx\biggr) = \exp\bigl(\ln|\sin x|\bigr) = \sin x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\sin x:
\sin x\,y' + y\,\sin x\cot x = 2x\csc x\;\sin x \;\Longrightarrow\; (\sin x\,y)' = 2x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\sin x\,y = \int 2x\,dx = x^2 + C.
Isolando y, obtemos
y = \frac{x^2 + C}{\sin x}.

Resposta

y(x) = \frac{x^2 + C}{\sin x}.

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