Exercício 1. Resolva as seguintes equações lineares:
(b) y^{\prime}+y=\frac{1}{1+e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = \frac{1}{1 + e^{2x}}
e pede a solução geral y(x). Para resolver usamos o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.
Multiplicamos toda a equação por \mu(x) para obter a forma exata:

Passo 3

Multiplicando, temos
e^{x}y' + e^{x}y = \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y, ou seja,
\bigl(e^{x}y\bigr)' = \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x. No segundo membro, façamos a substituição u = e^{x}, de onde du = e^{x}dx. Assim,
\int \bigl(e^{x}y\bigr)'dx = \int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{x}y = \int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u) + C.
Voltando a u = e^{x}, obtemos
e^{x}y = \arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^{x}:
y(x) = e^{-x}\,\arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C\,e^{-x}.

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{y(x) = e^{-x}\,\arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C\,e^{-x},}
onde C é a constante arbitrária de integração.

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