Exercício 9. Resolva as seguintes equações trigonométricas para
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, no intervalo
, a equação trigonométrica
Informações dadas:
- A incógnita é
e deve ser encontrada em radianos no intervalo . - A função envolvida é o cosseno,
.
Pergunta explícita: encontrar todos os valores deem que satisfazem a equação acima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a notação
: isso significa
, ou seja, o quadrado do cosseno de
. A equação pode ser escrita como
A técnica mais direta aqui é fatorar por fator comum. Veja que
é fator comum nos dois termos. Fatorando:
Explicação curta da fatoração: quando uma expressão é soma (ou diferença) de termos que têm um fator comum, pode-se escrever o produto desse fator pelo que sobra em cada termo. É o mesmo princípio de fator comum em álgebra básica.
Passo 3
Aplicamos a propriedade do produto nulo: se
(com
reais), então
ou
. Neste caso:
Portanto vamos resolver as duas equações trigonométricas separadamente no intervalo pedido.
Passo 4
Resolver
.
Conceito útil: no círculo unitário,
é a coordenada
do ponto correspondente ao ângulo
.
acontece nos ângulos em que a projeção no eixo
é zero, ou seja, nos pontos superiores e inferiores do círculo:
e
dentro de um período
a
.
Forma geral (para referência):
tem solução geral
com
. Tomando
e
obtemos, no intervalo dado,
Passo 5
Resolver
, que é equivalente a
Como encontrar
tal que
? Novamente olhando o círculo unitário,
corresponde ao ângulo cuja abscissa vale
. Isso ocorre em dois quadrantes: primeiro quadrante (ângulo agudo) e quarto quadrante (ângulo próximo a
).
O valor principal é
(60 graus). A segunda solução no intervalo
é a simétrica em torno do eixo
:
.
Forma geral (para referência):
tem solução
. Tomando os
que caem em
obtemos
Passo 6
Reunindo todas as soluções obtidas nas duas equações parciais, as soluções de
no intervalo
são
Passo 7
Verificação rápida por substituição dos valores de
:
- Para
e , tem-se . Então . - Para
e , tem-se . Então .
Isso confirma que todas as raízes listadas são válidas.