Exercício 9. Resolva as seguintes equações trigonométricas para 0 \leq x \leq 2 \pi :
2 \cos ^{2}(x)-\cos (x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no intervalo 0 \leq x \leq 2\pi, a equação trigonométrica
2\cos^{2}(x)-\cos(x)=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e deve ser encontrada em radianos no intervalo [0,2\pi].
  • A função envolvida é o cosseno, \cos(x).
    Pergunta explícita: encontrar todos os valores de x em [0,2\pi] que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a notação \cos^{2}(x): isso significa (\cos(x))^{2}, ou seja, o quadrado do cosseno de x. A equação pode ser escrita como
2(\cos(x))^{2}-\cos(x)=0.
A técnica mais direta aqui é fatorar por fator comum. Veja que \cos(x) é fator comum nos dois termos. Fatorando:
2\cos^{2}(x)-\cos(x)=\cos(x)\bigl(2\cos(x)-1\bigr)=0.
Explicação curta da fatoração: quando uma expressão é soma (ou diferença) de termos que têm um fator comum, pode-se escrever o produto desse fator pelo que sobra em cada termo. É o mesmo princípio de fator comum em álgebra básica.

Passo 3

Aplicamos a propriedade do produto nulo: se A\cdot B=0 (com A,B reais), então A=0 ou B=0. Neste caso:
\cos(x)=0 \quad\text{ou}\quad 2\cos(x)-1=0.
Portanto vamos resolver as duas equações trigonométricas separadamente no intervalo pedido.

Passo 4

Resolver \cos(x)=0.
Conceito útil: no círculo unitário, \cos(x) é a coordenada x do ponto correspondente ao ângulo x. \cos(x)=0 acontece nos ângulos em que a projeção no eixo x é zero, ou seja, nos pontos superiores e inferiores do círculo: x=\dfrac{\pi}{2} e x=\dfrac{3\pi}{2} dentro de um período 0 a 2\pi.
Forma geral (para referência): \cos(x)=0 tem solução geral x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}. Tomando k=0 e k=1 obtemos, no intervalo dado,
x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}.

Passo 5

Resolver 2\cos(x)-1=0, que é equivalente a
\cos(x)=\frac{1}{2}.
Como encontrar x tal que \cos(x)=\dfrac{1}{2}? Novamente olhando o círculo unitário, \cos(x)=\dfrac{1}{2} corresponde ao ângulo cuja abscissa vale 1/2. Isso ocorre em dois quadrantes: primeiro quadrante (ângulo agudo) e quarto quadrante (ângulo próximo a 2\pi).
O valor principal é \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\dfrac{\pi}{3} (60 graus). A segunda solução no intervalo [0,2\pi] é a simétrica em torno do eixo x: 2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}.
Forma geral (para referência): \cos(x)=\dfrac{1}{2} tem solução x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2k\pi. Tomando os k que caem em [0,2\pi] obtemos
x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\frac{5\pi}{3}.

Passo 6

Reunindo todas as soluções obtidas nas duas equações parciais, as soluções de
2\cos^{2}(x)-\cos(x)=0
no intervalo 0\le x\le 2\pi são
x=\frac{\pi}{3},\quad x=\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{3\pi}{2},\quad x=\frac{5\pi}{3}.

Passo 7

Verificação rápida por substituição dos valores de \cos(x):
  • Para x=\dfrac{\pi}{2} e x=\dfrac{3\pi}{2}, tem-se \cos(x)=0. Então 2\cos^{2}(x)-\cos(x)=0.
  • Para x=\dfrac{\pi}{3} e x=\dfrac{5\pi}{3}, tem-se \cos(x)=\dfrac{1}{2}. Então 2\cos^{2}(x)-\cos(x)=2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0.
    Isso confirma que todas as raízes listadas são válidas.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{3}
x=\dfrac{\pi}{2}
x=\dfrac{3\pi}{2}
x=\dfrac{5\pi}{3}

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