Exercício 6. Simplifique as expressões, sempre lembrando de assumir que os denominadores são não nulos.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
, assumindo que os denominadores não são nulos.
Informações e observações dadas:
Informações e observações dadas:
- A expressão original é
. - Assumir denominadores não nulos significa que
(pois ). - A tarefa é reescrever/ reduzir essa expressão ao seu formato mais simples possível.
Passo 2
Recordando uma identidade trigonométrica fundamental (Pitagórica):
Dessa identidade segue imediatamente que
Explicando: a identidade diz que o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno vale 1 para todo
. Subtraindo
de ambos os lados obtemos a relação acima.
Passo 3
Fatorando a expressão original em relação ao termo comum
:
Explicando o passo: é a propriedade distributiva ao contrário — colocar em evidência o fator comum
.
Passo 4
Usando a identidade do Passo 2 para substituir
por
:
Isso já é uma forma mais simples — reduzimos a subtração a um produto.
Passo 5
Agora escrevemos
em termos de seno e cosseno e simplificamos:
Como
(hipótese dos denominadores), podemos cancelar
no numerador e denominador, obtendo simplesmente
.
Explicando a ideia: , então
. Multiplicar por
cancela o denominador.
Explicando a ideia:
Passo 6
Verificação rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança): escolha
(30°). Tem-se
,
,
. Calculando:
e
. Confere com o resultado obtido.
Passo 7
Observação final sobre domínio: a simplificação
é válida sempre que
. Se
a expressão original não está definida (já que envolve
).