Exercício 6. Simplifique as expressões, sempre lembrando de assumir que os denominadores são não nulos.
\operatorname{tg}^{2}(x)-\operatorname{tg}^{2}(x) \operatorname{sen}^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\operatorname{tg}^{2}(x)-\operatorname{tg}^{2}(x)\operatorname{sen}^{2}(x), assumindo que os denominadores não são nulos.
Informações e observações dadas:
  • A expressão original é \operatorname{tg}^{2}(x)-\operatorname{tg}^{2}(x)\operatorname{sen}^{2}(x).
  • Assumir denominadores não nulos significa que \cos(x)\neq 0 (pois \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}).
  • A tarefa é reescrever/ reduzir essa expressão ao seu formato mais simples possível.

Passo 2

Recordando uma identidade trigonométrica fundamental (Pitagórica):
\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
Dessa identidade segue imediatamente que
1-\operatorname{sen}^{2}(x)=\cos^{2}(x).
Explicando: a identidade diz que o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno vale 1 para todo x. Subtraindo \operatorname{sen}^{2}(x) de ambos os lados obtemos a relação acima.

Passo 3

Fatorando a expressão original em relação ao termo comum \operatorname{tg}^{2}(x):
\operatorname{tg}^{2}(x)-\operatorname{tg}^{2}(x)\operatorname{sen}^{2}(x) =\operatorname{tg}^{2}(x)\bigl(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr).
Explicando o passo: é a propriedade distributiva ao contrário — colocar em evidência o fator comum \operatorname{tg}^{2}(x).

Passo 4

Usando a identidade do Passo 2 para substituir 1-\operatorname{sen}^{2}(x) por \cos^{2}(x):
\operatorname{tg}^{2}(x)\bigl(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr) =\operatorname{tg}^{2}(x)\cos^{2}(x).
Isso já é uma forma mais simples — reduzimos a subtração a um produto.

Passo 5

Agora escrevemos \operatorname{tg}^{2}(x) em termos de seno e cosseno e simplificamos:
\operatorname{tg}^{2}(x)\cos^{2}(x) =\left(\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}\right)\cos^{2}(x).
Como \cos^{2}(x)\neq0 (hipótese dos denominadores), podemos cancelar \cos^{2}(x) no numerador e denominador, obtendo simplesmente \operatorname{sen}^{2}(x).
Explicando a ideia: \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}, então \operatorname{tg}^{2}(x)=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}. Multiplicar por \cos^{2}(x) cancela o denominador.

Passo 6

Verificação rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança): escolha x=\dfrac{\pi}{6} (30°). Tem-se \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2}, \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{\sqrt{3}}. Calculando:
\operatorname{tg}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)-\operatorname{tg}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4},
e \operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}. Confere com o resultado obtido.

Passo 7

Observação final sobre domínio: a simplificação \operatorname{tg}^{2}(x)\cos^{2}(x)=\operatorname{sen}^{2}(x) é válida sempre que \cos(x)\neq 0. Se \cos(x)=0 a expressão original não está definida (já que envolve \operatorname{tg}(x)).

Resposta

\operatorname{sen}^{2}(x)

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