Exercício 9. Resolva as seguintes equações trigonométricas para 0 \leq x \leq 2 \pi :
\operatorname{tg}^{2}(x)=\sqrt{3} \operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no intervalo 0 \le x \le 2\pi, a equação trigonométrica
\operatorname{tg}^{2}(x)=\sqrt{3}\,\operatorname{tg}(x).
Informações/condições importantes dadas pelo enunciado:
  • O intervalo a considerar é [0,2\pi] (inclusive nas extremidades).
  • \operatorname{tg}(x) é a tangente de x. Lembrar que \operatorname{tg}(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e que a tangente não está definida quando \cos x=0, ou seja, em x=\dfrac{\pi}{2} e x=\dfrac{3\pi}{2}. Esses pontos devem ser tratados como proibidos (não podem ser soluções).
  • A incógnita é x (um ângulo) e queremos listar todas as soluções dentro do intervalo dado.

Passo 2

Transformar a equação trigonométrica em uma equação algébrica em t=\operatorname{tg}(x) para facilitar:
\text{Defina } t=\operatorname{tg}(x).
Essa substituição é válida apenas quando \operatorname{tg}(x) está definida (portanto x\neq\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}), que já foi anotado no Passo 1. Substituindo, a equação vira
t^{2}=\sqrt{3}\,t.

Passo 3

Resolver a equação algébrica em t. Primeiro passe todos os termos para um lado:
t^{2}-\sqrt{3}\,t=0.
Fatore t (colocar em evidência):
t\bigl(t-\sqrt{3}\bigr)=0.
A propriedade do produto nulo diz que o produto de dois fatores é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Portanto as possibilidades são:
t=0 \quad\text{ou}\quad t=\sqrt{3}.

Passo 4

Voltar da variável t para x. Lembrando que t=\operatorname{tg}(x), temos duas equações a resolver:
  1. \operatorname{tg}(x)=0.
  2. \operatorname{tg}(x)=\sqrt{3}.
Vou resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Resolver \operatorname{tg}(x)=0.
Explicando por que: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=0 ocorre quando \sin x=0 e \cos x\neq0. Os zeros de \sin x ocorrem em x=n\pi, com n\in\mathbb{Z}. Nesses pontos \cos(n\pi)=(-1)^n\neq0, então a tangente está bem definida e é de fato zero.
Portanto a solução geral é
x = n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Agora restringindo ao intervalo 0 \le x \le 2\pi, os valores de n que cabem são n=0,1,2, gerando
x=0,\quad x=\pi,\quad x=2\pi.
Observação: x=\dfrac{\pi}{2} e x=\dfrac{3\pi}{2} não aparecem aqui (e são pontos onde a tangente não existe), então não há conflito.

Passo 6

Resolver \operatorname{tg}(x)=\sqrt{3}.
Explicando por que: lembrar alguns valores fundamentais da tangente no círculo trigonométrico: \tan\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{\sqrt{3}}, \tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\sqrt{3}. A tangente tem período \pi, ou seja, se \tan a = v então todas as soluções são x=a+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Como \tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\sqrt{3}, a solução geral é
x = \frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora restringindo ao intervalo 0 \le x \le 2\pi: para k=0 obtemos x=\tfrac{\pi}{3}; para k=1 obtemos x=\tfrac{\pi}{3}+\pi=\tfrac{4\pi}{3}. Para k=2 >\!2\pi e para k=-1 dá negativo, então as soluções dentro do intervalo são
x=\frac{\pi}{3},\quad x=\frac{4\pi}{3}.

Passo 7

Verificação rápida e checagem de consistência:
  • Nenhuma das soluções encontradas coincide com os pontos proibidos \dfrac{\pi}{2} ou \dfrac{3\pi}{2}.
  • Podemos listar todas as soluções obtidas (dos dois casos). Não há outras soluções, porque fatoramos corretamente a equação em t e tratamos os dois fatores e as restrições de domínio.

Resposta

x=0
x=\pi
x=2\pi
x=\dfrac{\pi}{3}
x=\dfrac{4\pi}{3}

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