Exercício 9. Resolva as seguintes equações trigonométricas para
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, no intervalo
, a equação trigonométrica
Informações/condições importantes dadas pelo enunciado:
- O intervalo a considerar é
(inclusive nas extremidades). -
é a tangente de . Lembrar que e que a tangente não está definida quando , ou seja, em e . Esses pontos devem ser tratados como proibidos (não podem ser soluções). - A incógnita é
(um ângulo) e queremos listar todas as soluções dentro do intervalo dado.
Passo 2
Transformar a equação trigonométrica em uma equação algébrica em
para facilitar:
Essa substituição é válida apenas quando
está definida (portanto
), que já foi anotado no Passo 1. Substituindo, a equação vira
Passo 3
Resolver a equação algébrica em
. Primeiro passe todos os termos para um lado:
Fatore
(colocar em evidência):
A propriedade do produto nulo diz que o produto de dois fatores é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Portanto as possibilidades são:
Passo 4
Voltar da variável
para
. Lembrando que
, temos duas equações a resolver:
-
. -
.
Vou resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Resolver
.
Explicando por que:
ocorre quando
e
. Os zeros de
ocorrem em
, com
. Nesses pontos
, então a tangente está bem definida e é de fato zero.
Portanto a solução geral é
Agora restringindo ao intervalo
, os valores de
que cabem são
, gerando
Observação:
e
não aparecem aqui (e são pontos onde a tangente não existe), então não há conflito.
Passo 6
Resolver
.
Explicando por que: lembrar alguns valores fundamentais da tangente no círculo trigonométrico:
,
. A tangente tem período
, ou seja, se
então todas as soluções são
,
.
Como
, a solução geral é
Agora restringindo ao intervalo
: para
obtemos
; para
obtemos
. Para
dá
e para
dá negativo, então as soluções dentro do intervalo são
Passo 7
Verificação rápida e checagem de consistência:
- Nenhuma das soluções encontradas coincide com os pontos proibidos
ou . - Podemos listar todas as soluções obtidas (dos dois casos). Não há outras soluções, porque fatoramos corretamente a equação em
e tratamos os dois fatores e as restrições de domínio.