Exercício 8. Resolva as seguintes equações trigonométricas usando funções inversas:
, para
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação é
. - O domínio de interesse é
.
A tarefa é encontrar todos os valores denesse intervalo que satisfazem a equação.
Passo 2
Entendendo a função inversa e o valor principal. A função
é a inversa principal do cosseno restrito e tem imagem em
, isto é
Para qualquer
,
é o ângulo em
cuja cosseno é
. No nosso caso,
, portanto
existe e está em
. Conhecendo os ângulos notáveis:
. Como queremos cosseno negativo com o mesmo módulo, o ângulo correspondente no intervalo
é
Isto porque
.
Passo 3
Forma geral das soluções. Para
, as soluções gerais da equação
são dadas por
porque
é par (
) e periódica de período
. Aplicando com
e usando
, obtemos
Passo 4
Agora restringimos ao intervalo
. Vamos listar as soluções da fórmula geral próximas a zero:
- Para
: e . - Para
: e .
Compare aproximações:
Desses, somente
está dentro de
. As outras soluções são fora do intervalo.
Passo 5
Verificação final (checar que realmente satisfaz). Usando a identidade
com
,
logo
satisfaz a equação e está no intervalo pedido.