Exercício 8. Resolva as seguintes equações trigonométricas usando funções inversas:
\cos x=-\frac{1}{2}, para x \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica \cos x = -\tfrac{1}{2} no intervalo \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
Informações dadas:
  • A equação é \cos x = -\tfrac{1}{2}.
  • O domínio de interesse é x\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
    A tarefa é encontrar todos os valores de x nesse intervalo que satisfazem a equação.

Passo 2

Entendendo a função inversa e o valor principal. A função \operatorname{arccos} é a inversa principal do cosseno restrito e tem imagem em [0,\pi], isto é
\operatorname{arccos} : [-1,1]\to[0,\pi].
Para qualquer a\in[-1,1], \operatorname{arccos}(a) é o ângulo em [0,\pi] cuja cosseno é a. No nosso caso, -\tfrac{1}{2}\in[-1,1], portanto \operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) existe e está em [0,\pi]. Conhecendo os ângulos notáveis: \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}. Como queremos cosseno negativo com o mesmo módulo, o ângulo correspondente no intervalo [0,\pi] é
\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}.
Isto porque \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)= -\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Forma geral das soluções. Para a\in[-1,1], as soluções gerais da equação \cos x = a são dadas por
x = \pm \operatorname{arccos}(a) + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
porque \cos x é par ( \cos(-\theta)=\cos\theta) e periódica de período 2\pi. Aplicando com a=-\tfrac{1}{2} e usando \operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{2\pi}{3}, obtemos
x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora restringimos ao intervalo \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]. Vamos listar as soluções da fórmula geral próximas a zero:
  • Para k=0: x=\frac{2\pi}{3} e x=-\frac{2\pi}{3}.
  • Para k=1: x=\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{8\pi}{3} e x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{4\pi}{3}.
    Compare aproximações:
\frac{\pi}{2}\approx1{,}571,\qquad \pi\approx3{,}142,\qquad \frac{2\pi}{3}\approx2{,}094,\qquad -\frac{2\pi}{3}\approx-2{,}094,\qquad \frac{4\pi}{3}\approx4{,}189.
Desses, somente \frac{2\pi}{3} está dentro de \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]. As outras soluções são fora do intervalo.

Passo 5

Verificação final (checar que realmente satisfaz). Usando a identidade \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta com \theta=\tfrac{\pi}{3},
\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},
logo \,x=\frac{2\pi}{3}\, satisfaz a equação e está no intervalo pedido.

Resposta

\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}

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