Sabendo que
e que
e
formam ângulo de
, determinar:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados:
, e o ângulo entre e é . - Pedido: determinar
.
Passo 2
Vamos escrever uma fórmula que relaciona o comprimento de um vetor diferença com produtos escalares. Para quaisquer vetores
e
vale
No nosso caso substituímos
e
. Então primeiro calculamos
desenvolvendo o produto escalar:
Reescrevendo em normas e produto escalar:
Aqui:
e
são os quadrados das normas dadas, e
precisamos obter a partir do ângulo entre os vetores.
Passo 3
Recordando a relação entre produto escalar, normas e ângulo: para vetores
e
onde
é o ângulo entre eles. No problema
. Então
Substituindo
e
:
Agora usamos
. Portanto
Passo 4
Agora calculamos
usando os valores encontrados. Primeiro os quadrados das normas:
Substituindo em
obtemos
Calcule passo a passo:
logo
Passo 5
Tomando a raiz quadrada para achar a norma:
Isso é o valor exato. (Se quiser uma aproximação numérica rápida:
, então
e
.)