Sabendo que |u|=\sqrt{2},|v|=\sqrt{3} e que u e v formam ângulo de \frac{3 \pi}{4}, determinar:
|u-2 v|.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: |u|=\sqrt{2}, |v|=\sqrt{3} e o ângulo entre u e v é \dfrac{3\pi}{4}.
  • Pedido: determinar |u-2v|.

Passo 2

Vamos escrever uma fórmula que relaciona o comprimento de um vetor diferença com produtos escalares. Para quaisquer vetores a e b vale
|a-b|^{2}=(a-b)\cdot(a-b)=a\cdot a-2\,a\cdot b+b\cdot b=|a|^{2}-2\,a\cdot b+|b|^{2}.
No nosso caso substituímos a=u e b=2v. Então primeiro calculamos |u-2v|^{2} desenvolvendo o produto escalar:
|u-2v|^{2}=(u-2v)\cdot(u-2v)=u\cdot u-4\,u\cdot v+4\,v\cdot v.
Reescrevendo em normas e produto escalar:
|u-2v|^{2}=|u|^{2}-4\,u\cdot v+4|v|^{2}.
Aqui: |u|^{2} e |v|^{2} são os quadrados das normas dadas, e u\cdot v precisamos obter a partir do ângulo entre os vetores.

Passo 3

Recordando a relação entre produto escalar, normas e ângulo: para vetores u e v
u\cdot v=|u|\,|v|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. No problema \theta=\dfrac{3\pi}{4}. Então
u\cdot v=|u|\,|v|\,\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right).
Substituindo |u|=\sqrt{2} e |v|=\sqrt{3}:
u\cdot v=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\sqrt{6}\cdot\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right).
Agora usamos \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
u\cdot v=\sqrt{6}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{12}}{2}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}.

Passo 4

Agora calculamos |u-2v|^{2} usando os valores encontrados. Primeiro os quadrados das normas:
|u|^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2,\qquad |v|^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3.
Substituindo em
|u-2v|^{2}=|u|^{2}-4\,u\cdot v+4|v|^{2},
obtemos
|u-2v|^{2}=2-4\cdot(-\sqrt{3})+4\cdot 3.
Calcule passo a passo:
-4\cdot(-\sqrt{3})=4\sqrt{3},\qquad 4\cdot 3=12,
logo
|u-2v|^{2}=2+4\sqrt{3}+12=14+4\sqrt{3}.

Passo 5

Tomando a raiz quadrada para achar a norma:
|u-2v|=\sqrt{14+4\sqrt{3}}.
Isso é o valor exato. (Se quiser uma aproximação numérica rápida: \sqrt{3}\approx1{,}732, então 14+4\sqrt{3}\approx14+6{,}928=20{,}928 e \sqrt{20{,}928}\approx4{,}574.)

Resposta

\sqrt{14+4\sqrt{3}}

Exercícios relacionados