Exercício 9. Resolva as seguintes equações trigonométricas para 0 \leq x \leq 2 \pi :
8 \cos \left(\frac{x}{3}\right)+4=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica no intervalo 0 \leq x \leq 2\pi:
8\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)+4=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • O domínio onde buscamos soluções é [0,2\pi].
  • A equação envolve \cos\!\left(\frac{x}{3}\right).

Passo 2

Primeiro isolamos a função cosseno. Subtraindo 4 de ambos os lados e dividindo por 8 obtemos:
8\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)+4=0 \quad\Longrightarrow\quad 8\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)=-4 \quad\Longrightarrow\quad \cos\!\left(\frac{x}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}.
Aqui a ideia é transformar a equação num formato padrão \cos(\text{algo})=\text{valor}.

Passo 3

Para simplificar a escrita, fazemos a substituição
t=\frac{x}{3}.
Quando x varia em [0,2\pi], a nova variável varia em
t\in\left[0,\frac{2\pi}{3}\right],
pois basta dividir os extremos por 3. A equação vira
\cos t = -\tfrac{1}{2},\qquad t\in\left[0,\frac{2\pi}{3}\right].

Passo 4

Agora resolvemos \cos t = -\tfrac{1}{2}. Conceito importante (explicando devagar): o cosseno vale -\tfrac{1}{2} para os ângulos cujo cosseno absoluto é \tfrac{1}{2} e que estão nos quadrantes onde cosseno é negativo (II e III). O ângulo de referência com cosseno \tfrac{1}{2} é \tfrac{\pi}{3}. Portanto as soluções gerais para \cos t=-\tfrac{1}{2} são
t = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad t = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
(Explicando por que: \cos(\tfrac{2\pi}{3})=-\tfrac{1}{2} e \cos(\tfrac{4\pi}{3})=-\tfrac{1}{2}; adicionar 2k\pi dá a periodicidade do cosseno.)

Passo 5

Agora restringimos às soluções com t\in\left[0,\tfrac{2\pi}{3}\right]. Das duas possibilidades acima, vemos que:
  • t=\tfrac{2\pi}{3} está no intervalo (é o extremo superior).
  • t=\tfrac{4\pi}{3} é maior que \tfrac{2\pi}{3}, portanto não está no intervalo.
    Sendo assim a única solução admissível para t no intervalo dado é
t=\frac{2\pi}{3}.

Passo 6

Voltando para x pela relação x=3t, obtemos:
x = 3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi.
Verificação rápida: substituir x=2\pi na equação original dá \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}, então 8(-\tfrac{1}{2})+4=0, está correto.

Resposta

x=2\pi

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