Exercício 9. Resolva as seguintes equações trigonométricas para
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica no intervalo
:
Informações dadas:
- A incógnita é
. - O domínio onde buscamos soluções é
. - A equação envolve
.
Passo 2
Primeiro isolamos a função cosseno. Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
obtemos:
Aqui a ideia é transformar a equação num formato padrão
.
Passo 3
Para simplificar a escrita, fazemos a substituição
Quando
varia em
, a nova variável varia em
pois basta dividir os extremos por
. A equação vira
Passo 4
Agora resolvemos
. Conceito importante (explicando devagar): o cosseno vale
para os ângulos cujo cosseno absoluto é
e que estão nos quadrantes onde cosseno é negativo (II e III). O ângulo de referência com cosseno
é
. Portanto as soluções gerais para
são
(Explicando por que:
e
; adicionar
dá a periodicidade do cosseno.)
Passo 5
Agora restringimos às soluções com
. Das duas possibilidades acima, vemos que:
-
está no intervalo (é o extremo superior). -
é maior que , portanto não está no intervalo.
Sendo assim a única solução admissível parano intervalo dado é
Passo 6
Voltando para
pela relação
, obtemos:
Verificação rápida: substituir
na equação original dá
, então
, está correto.