Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação exponencial na variável
:
Informações dadas:
- A equação é
. - A incógnita é
.
O objetivo é encontrar todos os valores deque satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Vamos preparar o terreno: quando há potências com a mesma base (aqui a base é
), é útil escrever todos os termos nessa mesma base e usar as propriedades de potências. Recordando duas propriedades essenciais de potências (explicadas de forma direta):
- Para quaisquer números reais
e expoentes , vale .) Isso significa que ao multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes. - Para
, , a função é injetora: se então . Em palavras: potências de mesma base diferentes só são iguais se os expoentes forem iguais.
Usaremos essas ideias para transformar e resolver a equação.
Passo 3
Reescrevo o coeficiente
como potência de
, pois
. Então:
usando a propriedade
.
Assim a equação fica
Assim a equação fica
Passo 4
Agora fatoramos o menor termo em potência comum. Observe que
e
têm fator comum
, porque
(veja que
). Então fatorando:
Passo 5
Calcula-se
:
portanto
Isolando
:
Passo 6
Escrevemos
como potência de
:
. Assim chegamos à igualdade
Pela propriedade de injetividade das potências de base
(base
e
), os expoentes devem ser iguais:
Passo 7
Resolve-se a equação linear simples para
:
Passo 8
Verificação rápida (substituindo na equação original):
confirma que
é solução.
Dica alternativa (método por substituição, equivalente e às vezes mais direto): definir
. Então
e
. A equação vira
.
Força aí — você conseguiu! É só prática com esse tipo de fatoração/substituição nas exponenciais.