Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x :
4.2^{x}+2^{x-1}=72

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial na variável x:
4\cdot 2^{x} + 2^{x-1} = 72.
Informações dadas:
  • A equação é \;4\cdot 2^{x} + 2^{x-1} = 72.
  • A incógnita é x.
    O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos preparar o terreno: quando há potências com a mesma base (aqui a base é 2), é útil escrever todos os termos nessa mesma base e usar as propriedades de potências. Recordando duas propriedades essenciais de potências (explicadas de forma direta):
  • Para quaisquer números reais a>0 e expoentes m,n, vale \;a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.) Isso significa que ao multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes.
  • Para a>0, a\neq 1, a função a^{t} é injetora: se a^{u}=a^{v} então u=v. Em palavras: potências de mesma base diferentes só são iguais se os expoentes forem iguais.
Usaremos essas ideias para transformar e resolver a equação.

Passo 3

Reescrevo o coeficiente 4 como potência de 2, pois 4=2^{2}. Então:
4\cdot 2^{x} = 2^{2}\cdot 2^{x} = 2^{x+2},
usando a propriedade a^{m}a^{n}=a^{m+n}.
Assim a equação fica
2^{x+2} + 2^{x-1} = 72.

Passo 4

Agora fatoramos o menor termo em potência comum. Observe que 2^{x+2} e 2^{x-1} têm fator comum 2^{x-1}, porque
2^{x+2} = 2^{x-1}\cdot 2^{3}
(veja que x+2=(x-1)+3). Então fatorando:
2^{x-1}\bigl(2^{3} + 1\bigr) = 72.

Passo 5

Calcula-se 2^{3}+1:
2^{3}+1 = 8+1 = 9,
portanto
2^{x-1}\cdot 9 = 72.
Isolando 2^{x-1}:
2^{x-1} = \frac{72}{9} = 8.

Passo 6

Escrevemos 8 como potência de 2: 8=2^{3}. Assim chegamos à igualdade
2^{x-1} = 2^{3}.
Pela propriedade de injetividade das potências de base 2 (base >0 e \neq 1), os expoentes devem ser iguais:
x-1 = 3.

Passo 7

Resolve-se a equação linear simples para x:
x = 3+1 = 4.

Passo 8

Verificação rápida (substituindo na equação original):
4\cdot 2^{4} + 2^{4-1} = 4\cdot 16 + 2^{3} = 64 + 8 = 72,
confirma que x=4 é solução.
Dica alternativa (método por substituição, equivalente e às vezes mais direto): definir y=2^{x-1}. Então 2^{x}=2\cdot 2^{x-1}=2y e 4\cdot 2^{x}=4\cdot 2y=8y. A equação vira 8y+y=72\Rightarrow 9y=72\Rightarrow y=8\Rightarrow 2^{x-1}=8\Rightarrow x=4.
Força aí — você conseguiu! É só prática com esse tipo de fatoração/substituição nas exponenciais.

Resposta

x=4

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