Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação exponencial na variável
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita é
. - A expressão envolve potências de base
. - O objetivo é encontrar todos os
reais que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Regra de potências que vamos usar (explicando bem): se
é uma base fixa e
são expoentes, então
Isto é porque multiplicar potências de mesma base soma os expoentes; aqui estamos “desfazendo” essa soma. Um exemplo concreto:
porque
.
Passo 3
Aplicando a ideia de fatorar um termo comum em
. Observe que
e
são expoentes; o menor deles é
. Assim podemos escrever
Calcule o expoente dentro do parêntese:
. Portanto a fatoração fica
Passo 4
Simplificando a fatoração encontrada:
Substituindo na equação original obtemos
Passo 5
Isolar a potência: como
, dividimos ambos os lados por
e obtemos
Passo 6
Propriedade fundamental das potências (explicação): para uma base
com
, a equação
tem solução única
, porque
e a função
é estritamente monotônica e nunca assume o valor
em outro ponto. No nosso caso a base é
e
, logo
Passo 7
Resolver a igualdade simples:
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituindo
na equação original
que confirma que
é solução.