Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x :
7^{x}+7^{x-1}=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial na variável x:
7^{x}+7^{x-1}=8.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x.
  • A expressão envolve potências de base 7.
  • O objetivo é encontrar todos os x reais que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Regra de potências que vamos usar (explicando bem): se a é uma base fixa e m,n são expoentes, então
a^{m} = a^{n}\cdot a^{m-n}.
Isto é porque multiplicar potências de mesma base soma os expoentes; aqui estamos “desfazendo” essa soma. Um exemplo concreto: 2^{5}=2^{3}\cdot2^{2} porque 5=3+2.

Passo 3

Aplicando a ideia de fatorar um termo comum em 7^{x}+7^{x-1}. Observe que x e x-1 são expoentes; o menor deles é x-1. Assim podemos escrever
7^{x}+7^{x-1}=7^{x-1}\bigl(7^{\,x-(x-1)}+1\bigr).
Calcule o expoente dentro do parêntese: x-(x-1)=1. Portanto a fatoração fica
7^{x}+7^{x-1}=7^{x-1}(7^{1}+1)=7^{x-1}(7+1).

Passo 4

Simplificando a fatoração encontrada:
7^{x}+7^{x-1}=7^{x-1}\cdot 8.
Substituindo na equação original obtemos
8\cdot 7^{x-1}=8.

Passo 5

Isolar a potência: como 8\neq 0, dividimos ambos os lados por 8 e obtemos
7^{x-1}=1.

Passo 6

Propriedade fundamental das potências (explicação): para uma base a>0 com a\neq 1, a equação a^{t}=1 tem solução única t=0, porque a^{0}=1 e a função t\mapsto a^{t} é estritamente monotônica e nunca assume o valor 1 em outro ponto. No nosso caso a base é 7>0 e 7\neq1, logo
x-1=0.

Passo 7

Resolver a igualdade simples:
x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituindo x=1 na equação original
7^{1}+7^{1-1}=7+7^{0}=7+1=8,
que confirma que x=1 é solução.

Resposta

x=1

Exercícios relacionados