Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-2 x y-x^{2}}{y^{2}+2 x y-x^{2}}, y(1)=-1
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
A equação diferencial dada é \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-2xy-x^{2}}{y^{2}+2xy-x^{2}}.
A condição inicial é \displaystyle y(1)=-1.
O que se pede: encontrar a solução (função y(x)) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Lista explícita das informações relevantes do enunciado:
A razão entre polinômios do numerador e denominador na derivada depende apenas de x e y por combinações quadráticas.
O ponto inicial é (x,y)=(1,-1).
Passo 2
Observação que guia o método (motivo da substituição) e mudança de variável.
Note que tanto o numerador quanto o denominador são polinomiais homogêneos de grau 2 em x e y (cada termo tem grau total 2). Quando isso acontece, uma estratégia clássica é tentar a substituição
y = v x,
onde v é função de x. Essa substituição transforma uma equação em x,y numa equação para v(x).
Diferenciando \displaystyle y=vx em relação a x obtemos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Passo 3
Substituir na equação e simplificar cuidadosamente.
Identificar soluções especiais que a separação poderia perder.
Observe que a expressão à direita contém o fator (v+1) no numerador. Se v\equiv -1 (isto é, se y=-x), então o lado direito é 0 dividido por algo — mas devemos checar diretamente se y=-x satisfaz a equação original.
Verificação direta: para y=-x tem-se \displaystyle \frac{dy}{dx}=-1. Substituindo y=-x no lado direito:
Logo y=-x é de fato uma solução da equação diferencial. Essa solução é especial (chamada solução singular no contexto da separação), porque ao dividir por (v+1) durante a separação perderíamos essa possibilidade.
Passo 6
Separar variáveis para a família de soluções gerais (caso [v\neq -1)) e integrar.
Reescrever a solução geral implícita e voltar a y.
Somando \ln|x| aos dois lados e exponenciando:
\ln\!\left(\frac{v^{2}+1}{|v+1|}\cdot |x|\right) = C \quad\Longrightarrow\quad \frac{x(v^{2}+1)}{|v+1|} = C_1.
Absorvendo o sinal do valor absoluto na constante (permitindo C_1 real não nulo) e substituindo v=\dfrac{y}{x}, uma forma simples e conveniente da família geral (caso v\neq -1) é
y^{2}+x^{2} = C\big(y+x\big),
onde C é constante real (obtida multiplicando ambos os lados por x e rearranjando). Essa equação é a solução implícita geral para as soluções com y\neq -x.
Passo 8
Aplicar a condição inicial e escolher a solução que satisfaz a condição.
A condição inicial é y(1)=-1. Se tentarmos impor essa condição na família implícita y^{2}+x^{2}=C(y+x), ao substituir (x,y)=(1,-1) obtemos
o que dá 2=0, impossível. Portanto a família com constante C finita não contém a condição inicial.
Porém já identificamos em
Passo 9
Além disso, a função do lado direito da equação diferencial é suave (continua e derivável em y) na vizinhança do ponto (1,-1) — o denominador original y^{2}+2xy-x^{2} no ponto (1,-1) vale -2\neq 0 — portanto existe e é única a solução passando por (1,-1). Assim a solução que passa por esse ponto é necessariamente y=-x.