Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-2 x y-x^{2}}{y^{2}+2 x y-x^{2}}, y(1)=-1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A equação diferencial dada é \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-2xy-x^{2}}{y^{2}+2xy-x^{2}}.
  • A condição inicial é \displaystyle y(1)=-1.
  • O que se pede: encontrar a solução (função y(x)) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Lista explícita das informações relevantes do enunciado:
  • A razão entre polinômios do numerador e denominador na derivada depende apenas de x e y por combinações quadráticas.
  • O ponto inicial é (x,y)=(1,-1).

Passo 2

Observação que guia o método (motivo da substituição) e mudança de variável.
  • Note que tanto o numerador quanto o denominador são polinomiais homogêneos de grau 2 em x e y (cada termo tem grau total 2). Quando isso acontece, uma estratégia clássica é tentar a substituição
y = v x,
onde v é função de x. Essa substituição transforma uma equação em x,y numa equação para v(x).
  • Diferenciando \displaystyle y=vx em relação a x obtemos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Substituir na equação e simplificar cuidadosamente.
  • Substituindo y=vx no lado direito da equação:
\text{numerador} = y^{2}-2xy-x^{2} = x^{2}\big(v^{2}-2v-1\big),
\text{denominador} = y^{2}+2xy-x^{2} = x^{2}\big(v^{2}+2v-1\big).
  • Portanto o lado direito vira
\frac{y^{2}-2xy-x^{2}}{y^{2}+2xy-x^{2}} = \frac{v^{2}-2v-1}{v^{2}+2v-1}.
  • Igualando com a expressão para \frac{dy}{dx}:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}-2v-1}{v^{2}+2v-1}.

Passo 4

Reorganizar para obter uma equação separável em v e x.
  • Subtraindo v de ambos os lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}-2v-1}{v^{2}+2v-1}-v.
  • Colocando em um único quociente:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}-2v-1 - v(v^{2}+2v-1)}{v^{2}+2v-1}.
  • Desenvolvendo o numerador:
v^{2}-2v-1 - v^{3}-2v^{2}+v = -v^{3}-v^{2}-v-1.
  • Fatorando esse numerador:
-v^{3}-v^{2}-v-1 = -(v^{3}+v^{2}+v+1) = -(v+1)(v^{2}+1).
  • Assim obtemos
x\frac{dv}{dx} = -\frac{(v+1)(v^{2}+1)}{v^{2}+2v-1}.

Passo 5

Identificar soluções especiais que a separação poderia perder.
  • Observe que a expressão à direita contém o fator (v+1) no numerador. Se v\equiv -1 (isto é, se y=-x), então o lado direito é 0 dividido por algo — mas devemos checar diretamente se y=-x satisfaz a equação original.
  • Verificação direta: para y=-x tem-se \displaystyle \frac{dy}{dx}=-1. Substituindo y=-x no lado direito:
\frac{y^{2}-2xy-x^{2}}{y^{2}+2xy-x^{2}}=\frac{x^{2}+2x^{2}-x^{2}}{x^{2}-2x^{2}-x^{2}}=\frac{2x^{2}}{-2x^{2}}=-1.
  • Logo y=-x é de fato uma solução da equação diferencial. Essa solução é especial (chamada solução singular no contexto da separação), porque ao dividir por (v+1) durante a separação perderíamos essa possibilidade.

Passo 6

Separar variáveis para a família de soluções gerais (caso [v\neq -1)) e integrar.
  • Para v\neq -1 podemos separar:
\frac{v^{2}+2v-1}{(v+1)(v^{2}+1)}\,dv = -\frac{dx}{x}.
  • Vamos decompor por frações parciais o integrando em v. Procuramos A,B,C tais que
\frac{v^{2}+2v-1}{(v+1)(v^{2}+1)}=\frac{A}{v+1}+\frac{Bv+C}{v^{2}+1}.
  • Multiplicando por (v+1)(v^{2}+1) e igualando coeficientes obtém-se o sistema (após expansão)
v^{2}+2v-1 = (A+B)v^{2} + (B+C)v + (A+C).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} 1 = A+B,\\[4pt] 2 = B+C,\\[4pt] -1 = A+C. \end{cases}
  • Resolvendo: A=-1\], \(B=2, C=0. Portanto
\frac{v^{2}+2v-1}{(v+1)(v^{2}+1)} = -\frac{1}{v+1} + \frac{2v}{v^{2}+1}.
  • Integrando ambos os lados:
\int\!\left(-\frac{1}{v+1}+\frac{2v}{v^{2}+1}\right)dv = \int -\frac{dx}{x}.
  • As primitivas são simples:
-\ln|v+1| + \ln\big(v^{2}+1\big) = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração.]

Passo 7

Reescrever a solução geral implícita e voltar a y.
  • Somando \ln|x| aos dois lados e exponenciando:
\ln\!\left(\frac{v^{2}+1}{|v+1|}\cdot |x|\right) = C \quad\Longrightarrow\quad \frac{x(v^{2}+1)}{|v+1|} = C_1.
  • Absorvendo o sinal do valor absoluto na constante (permitindo C_1 real não nulo) e substituindo v=\dfrac{y}{x}, uma forma simples e conveniente da família geral (caso v\neq -1) é
y^{2}+x^{2} = C\big(y+x\big),
onde C é constante real (obtida multiplicando ambos os lados por x e rearranjando). Essa equação é a solução implícita geral para as soluções com y\neq -x.

Passo 8

Aplicar a condição inicial e escolher a solução que satisfaz a condição.
  • A condição inicial é y(1)=-1. Se tentarmos impor essa condição na família implícita y^{2}+x^{2}=C(y+x), ao substituir (x,y)=(1,-1) obtemos
(-1)^{2}+1^{2} = 1+1 = 2 = C\cdot( -1 + 1)=C\cdot 0,
o que dá 2=0, impossível. Portanto a família com constante C finita não contém a condição inicial.
  • Porém já identificamos em

Passo 9

  • Além disso, a função do lado direito da equação diferencial é suave (continua e derivável em y) na vizinhança do ponto (1,-1) — o denominador original y^{2}+2xy-x^{2} no ponto (1,-1) vale -2\neq 0 — portanto existe e é única a solução passando por (1,-1). Assim a solução que passa por esse ponto é necessariamente y=-x.

Resposta

\,y(x)=-x\,

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